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泉港一中2017-2018学年上学期期末质量检测
高三数学（文科）试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
第Ⅰ卷（选择题 60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.函数与的定义域分别为、，则（ ）
A． B． C． D．
2.若，则复数对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，则++=（ ）
A． B． C． D．
4.从编号为1,2,…，79,80的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的样本，若编号为10的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为（ ）
A．72 B．73 C．74 D．75
5.已知角（）终边上一点的坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
6.函数的大致图象是（ ）
7．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=1.5（单位：升），则输入k的值为（ ）
A．6 B．4.5 C．7.5 D．9
8.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
9.实数，满足时，目标函数的最大值等于5，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
10.三棱锥中，侧棱底面，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11.已知动点在椭圆上，若点的坐标为，点满足，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数，关于的方程的五个实根由小到大依次为
，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.观察下列式子：，，，…，根据上述规律，第个不等式可能为 ．
14.已知函数（，）的图象如图所示，则的值为 ．
15.双曲线（，）上一点关于渐进线的对称点恰为右焦点，则该双曲线的离心率为 ．
16.在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为，，，其面积，这里．已知在中，，，则面积的最大值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，求证：对任意的，.
18.在如图所示的多面体中，为直角梯形，，，四边形为等腰梯形，，已知，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求多面体的体积.
19.天气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的，在现实的生产生活中有着重要的意义.某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现，企业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关.
（Ⅰ）天气预报说，在今后的三天中，每一天降雨的概率均为，该营销部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天降雨的概率，利用计算机产生0到9之间取整数值的随机数，并用1,2,3,4,表示下雨，其余6个数字表示不下雨，产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
求由随机模拟的方法得到的概率值；
（Ⅱ）经过数据分析，一天内降雨量的大小（单位：毫米）与其出售的快餐份数成线性相关关系，该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下：
降雨量（毫米）
1
2
3
4
5
快餐数（份）
50
85
115
140
160
试建立关于的回归方程，为尽量满足顾客要求又不造成过多浪费，预测降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数．（结果四舍五入保留整数）
附注：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
20．已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过点的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
21.已知函数，其中．
（Ⅰ）若，求函数的图象在点处的切线方程；
（Ⅱ）若，恒成立，求的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位，建立极坐标系．曲线．
（I）若直线与曲线相交于点，证明：为定值；
（II）将曲线上的任意点作伸缩变换后，得到曲线上的点，求曲线的内接矩形最长的最大值．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）求函数的图象与直线围成的封闭图形的面积；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正数、满足，求的最小值.
泉港一中2017-2018学年上学期期末质量检测
高三数学（文科）试题答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、C 12： B
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17. 解：（Ⅰ）当时，
①-②得
,，
当时，，所以．
（Ⅱ）因为，.
因此，
所以.
18.（Ⅰ）证明：取AD中点M，连接EM，AF=EF=DE=2，AD=4，可知EM=AD，∴AE⊥DE，
又AE⊥EC， ∴AE⊥平面CDE，
∵ ，∴AE⊥CD，又CD⊥AD，
,∴CD⊥平面ADEF．
（Ⅱ）由(1)知 CD⊥平面ADEF， 平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ADEF；
作EO⊥AD，∴EO⊥平面ABCD，EO=，
连接AC，则
，
，
∴．
19.解：（Ⅰ）上述20组随机数中恰好含有1，2，3，4中的两个数的有191 271 932 812 393 ，共5个，所以三天中恰有两天下雨的概率的近似值为.
（Ⅱ）由题意可知，
，
所以，关于的回归方程为：．
将降雨量代入回归方程得：.
所以预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193份．
20.【解答】解：（1）由题意得，
∴点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆∵，
∴点M的轨迹C的方程为．
（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立可得9（1+2k2）x2+12kx﹣16=0．
由求根公式化简整理得，
假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，则即．
∵，
===．
∴求得m=﹣1．
因此，在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．
21. 解：（Ⅰ）当时，，当时，，
，所以所求切线方程为：．
（Ⅱ）首先，令其为，则．
1） 当即时，单调递减，即单调递减，
，单调递减，，所以成立；
2） 当时，解得：，当时，
单调递增，即单调递增，
，单调递增，，所以不成立．
综上所述：．
22. 22.（I）曲线．
，
．
（II）伸缩变换后得．其参数方程为：．
不妨设点在第一象限，由对称性知：
周长为
，（时取等号）周长最大为．
23. 解：（Ⅰ）函数
它的图象如图所示：
函数的图象与直线的交点为、，
故函数的图象和直线围成的封闭图形的面积．
（Ⅱ）
，
当且仅当，
可得时等号成立，
的最小值是
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