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泉港一中2017-2018学年上学期期末考试
高三数学（理科）试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知为虚数单位，若复数，则（ ）
A． B． C． D．
2. 设常数aR，集合A＝{x|(x－1)(x－2)≥0}，B＝{x|x≥a}．若A∪B＝R，则a的取值范围为( )
A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
3. 我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（ ）
A. 104人 B. 108人 C. 112人 D. 120人
4.在中，角所对的边分别为，若，则为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C.等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
5. 已知数列满足：时，，则的前12项和（ ）
A． 94 B．-94 C. -126 D．126
6.设、、为平面，为、、直线，则的一个充分条件是
A、 B、
C、 D、
7.按下图所示的程序框图运算：若输出，则输入的取值范围是（ ）
A. B． C. D．
8.已知变量满足条件，若目标函数仅在点处取得最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9. 如图，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，点的坐标为，点位于第一象限，，若，则（ ）
A． B． C. D．
10. 已知是双曲线上的不同三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率（ ）
A． B． C. D．
11.一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积为（ ）
A B C D
12.已知函数，，对，，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13. 设，则 ．
C
B
O
A
14.如图，平面内有三个向量
15. 设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和。记设为数列{}的最大项，则=
16.方程x2+x－1＝0的解可视为函数y＝x+的图像与函数y＝的图像交点的横坐标，若x4+ax－6＝0的各个实根x1，x2，…，xk (k≤4)所对应的点(xi ,)（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是 .
参考答案
1-6 DBBDAC 7-12 DCBBCA
13.31 14、5 15 4 16
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
在中，角的对边分别为，，且．
（1）求角的大小；
（2）若等差数列的公差不为零，且，且成等比数列，求的前项和．
【答案】（1）（2）
试题解析：（1）由得，
所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
∴，由，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）设数列的公差为，
由（1）得，且，
∴，
又，∴，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
∴，∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
18.（本小题满分12分）为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高三年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表.
（Ⅰ）求出上表中的的值；
（Ⅱ）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序．已知高三（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格.
①求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；
②记高三（2）班在决赛中进入前三位的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（I），，，，；（II）①；②分布列见解析，.
，，，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，参加决赛的选手共6人，
① “甲不在第一位，乙不在第六位”为事件，
则，所以甲不在第一位，乙不在第六位的概率为.．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
②随机变量的可能值为0,1,2
，，，
0
1
2
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分
因为，所以随机变量的数字期望为1. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
19. 如图所示，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH。
（Ⅰ）求证：AB//GH；
（Ⅱ）求二面角D-GH-E的余弦值
解:(Ⅰ)证明:因为 分别是的中点,
所以∥,∥,
所以∥,
又平面,平面,
所以∥平面,
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
又平面,平面平面,
所以∥,
又∥,
所以∥.
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
(Ⅱ) 解法二:在△中,,,
所以,又平面
,所以两两垂直, ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
以为坐标原点,分别以
所在直线为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设,则,,,,
,,所以,,,,
设平面的一个法向量为,
由,,
得
取,得.
设平面的一个法向量为
由,,
得
取,得
.
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
所以
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
因为二面角为钝角,所以二面角
的余弦值为. ．．．．．．．．．．．12分
20.（本小题满分12分）
已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．
(Ⅰ)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．
【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）能，或．
【解析】(Ⅰ)设直线，，，．
将代入得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
故，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
．解得，．因为，，，所以当的斜率为
或时，四边形为平行四边形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
21.（本小题满分12分）
已知函数，在处的切线与直线垂直，函数.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）设，是函数的两个极值点，若，求的最小值.
【答案】（I）；（II）.
【解析】
试题分析：（I）切线与直线垂直，所以切线斜率为，利用导数等于，求得
；（II）对求导后通分，由根与系数关系得到两个极值点的关系.化简的表达式为，令，换元后利用导数求得的最小值为.
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分．．．．．．．．．．8分
，所以在单调递减，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
又，，
即.
，，，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
故所求的最小值是.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线（为参数），曲线（为参数）.
（Ⅰ）设与相交于两点，求；
（Ⅱ）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值.
【答案】（I）；（II）.
．．．．．．．．5分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
考点：坐标系与参数方程.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（I）；（II）.
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
．．．．．．．．．．．．．．．．10分
考点：不等式选讲.
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