数学试卷（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.复数，是虚数单位，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3.在正方形内任取一点，则该点在此正方形的内切圆外的概率为（ ）
A． B． C． D．
4.将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则（ ）
A. B. C. D.
5.若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C. D．
6.已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C.若，，则
D．若，，，且，，则
7.若执行如图所示的程序图，则输出的值为（ ）
A． B． C. D．
8.若，，，则的最小值为（ ）
A． B． C. D．
9.榫卯是中国古代建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构建上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，突出部分叫做“榫头”.若某“榫头”的三视图如图所示，则一个该“榫头”的体积为（ ）
A． B． C. D．
10.已知，则（ ）
A. B. C. D.
11.已知实数，满足记该不等式组所表示的平面区域为，且，，，现有如下说法：
①，；②，；③，.
则上述说法正确的有（ ）个.
A. B. C. D.
12.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量，，若，则实数 ．
14.若函数且，则 ．
15.若的内角，，所对的边分别为，，，已知，则 ．
16.已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，若，，且为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列是递增的等差数列，，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和，求满足的最小的的值.
18. 随着雾霾的日益严重，中国部分省份已经实施了“煤改气”的计划来改善空气质量指数.2017年支撑我国天然气市场消费增长的主要资源是国产常规气和进口天然气，资源每年的增量不足以支撑天然气市场连续亿立方米的年增量.进口LNG和进口管道气受到接收站、管道能力和进口气价资源的制约.未来，国产常规气产能释放的红利将会逐步减弱，产量增量将维持在亿方以内.为了测定某市是否符合实施煤改气计划的标准，某监测站点于2016年8月某日起连续天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下：
（1）根据上图完成下列表格
空气质量指数（）
天数
（2）计算这天中，该市空气质量指数的平均数；
（3）若按照分层抽样的方法，从空气质量指数在以及的等级中抽取天进行调研，再从这天中任取天进行空气颗粒物分析，求恰有天空气质量指数在上的概率.
19. 已知平面四边形中，中，，现沿进行翻折，得到三棱锥，点，分别是线段，上的点，且平面.
求证：（1）直线平面；
（2）当是中点时，求证：平面平面.
20. 已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，若椭圆上一点满足，且椭圆过点，过点的直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作轴的垂线，交椭圆于，求证：，，三点共线.
21. 已知函数.
（1）若曲线在点处的切线经过，求的值；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求的值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的普通方程；
（2）若曲线，相交于,两点，求线段的长度.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）若，求实数的取值范围.
参考答案、提示及评分细则
一、选择题
1-5:BCADB 6-10:BABCC 11、12：CA
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）设的公差为（），由条件得，∴
∴.
（2）
∴.
由得.
∴满足的最小值的的值为
18.解：（1）所求表格数据如下：
空气质量指数（）
天数
（2）依题意，
空气质量指数（）
频率
故所求平均数为
（3）依题意，从空气质量指数在以及的天数为，记为，，，，，空气质量指数在的天数为，记为，，则任取天，所有的情况为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种，其中满足条件的有种，故所求概率.
19.（1）证明：因为平面，平面，
平面平面，所以
因为平面，平面，所以平面
（2）因为是的中点，，所以为的中点.
又因为，所以
又，，所以，
，平面，，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
20.解：（1）依题意，，故.
将代入中，解得，故椭圆：.
（2）由题知直线的斜率必存在，设的方程为.
点，，，联立得.
即，，，
由题可得直线方程为，
又∵，.
∴直线方程为，
令，整理得
，即直线过点.
又∵椭圆的左焦点坐标为，∴三点，，在同一直线上.
21.解：（1）.，
切线方程为，切线过点，∴
（2）令，.
若，，与已知矛盾.
若，则，显然不满足在上恒成立.
若，对求导可得.
由解得，由解得.
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴
∴要使恒成立，须使成立.
即恒成立，两边取得对数得，，整理得，即须此式成立.
令，则，显然当时，
，当时，于是函数在上单调递减，在单调递增.
∴，即当且仅当时，，恒成立.
∴满足条件，综上所述，.
22.解：（1）曲线的普通方程为.
曲线的普通方程为.
（2）据得或
所以线段的长度为
23.解：（1）可化为，
所以，
所以，所以所求不等式的解集为.
（2）因为函数在上单调递增，
，，.
所以
所以，所以，所以.即实数的取值范围 是
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