2019届高二上学期期末考试试卷
文科数学
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项:
1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。考试结束后，请将答题卡上交。
2.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上。
3.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。
4.非选择题的作答：用黑色签字笔在答题卡上对应的答题区域内作答。答在试卷、草稿纸上无效。
5.考生务必保持答题卡的整洁。
第I卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 设全集，则等于( )
A． B． C． D．
2. 设，“”是“”的（ ）
A．充分必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
3. 已知直线经过点，且斜率为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
1. 如果执行右面的程序框图，那么输出的（ ）
A．90 B．110
C．250 D．209
2. 将一条5米长的绳子随机地切断为两段，则两段绳子都不短于1米的概率为（ ）
A． B． C. D．
6. 已知变量满足线性约束条件，则目标函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7. 下列四个命题中正确的是（ ）
①若一个平面经过另一平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
A．①③ B．①④ C．①②④ D．①③④
8. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）
A． B．
C． D．
9. 若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10. 若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A． B．
C． D．
11. 《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份有（ ）个面包．
A．1 B．2 C．3 D．4
12. 设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题，共90分）
注意事项：用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.
二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡相应位置。）
13. 已知均为单位向量，它们的夹角为，那么
14. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则 ．
15. 在正方体中，若内切圆的半径为，则该正方体内切球的表面积为
．
16. 函数（且）的图象过一个定点,且点在直线 上,则的最小值是 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。）
17.（本小题满分10分）已知数列为等比数列，为数列的前项和，且满足，数列为等差数列，.
（I）求数列，的通项公式；
（II）求数列的前项和.
18. （本小题满分12分）已知函数
（I）求的最小正周期和最大值；
（II）讨论在上的单调性.
19. （本小题满分12分）某市拟兴建九座高架桥，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查的市民中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：
年龄段
支持
保留
不支持
40岁以下（含40岁）
450
60
140
40岁以上
150
130
70
（I）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研（不同态度的群体中亦按年龄分层抽样），已知从“保留”态度的人中抽取了19人，则在“支持”态度的群体中，年龄在40岁以下（含40岁）的人有多少被抽取；
（II）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人做进一步的调研，将此6人看作一个总体，在这6人中任意选取2人，求至少有1人在40岁以上的概率．
20. （本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点．
（I）证明：∥平面；
（II）设，，三棱锥的体积， 求到平面的距离．
21. （本小题满分12分）已知的三个内角，，对应的边分别为，，，且．
（I）证明：，，成等差数列；
（II）若的面积为，求的最小值．
22. （本小题满分12分）已知点在椭圆上，且点到两焦点的距离之和为6.
（I）求椭圆的方程；
（II）设与(为坐标原点)垂直的直线交椭圆于(不重合)，求的取值范围．
2019届高二上学期期末考试
文科数学(答案）
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
A
B
C
C
D
C
D
A
B
D
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡相应位置。
13. 14.
15. 16.
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。
17．（本小题满分10分）
解：（I）解法一： 解得：
又
数列是等比数列 公比
数列是等差数列，
解法二：当时,
两式相减得
即时，数列是等比数列
当时, 满足上式
数列是等差数列， ……6分
（II） ……10分
18．（本小题满分12分）
（II）当时,
故当时，为增函数.
当时，为减函数. ……12分
19． （本小题满分12分）
解：（I）设在“支持”态度的群体中抽取个人，其中年龄在40岁以下（含40岁）的被抽取人，
由题意，得，则人．
所以在“支持”态度的群体中，年龄在40岁以下（含40岁）的人有45人被抽取． ……6分
（II）设所选的人中，有人年龄在40岁以下，则，．
即从40岁以下（含40岁）抽取4人，40岁以上抽取2人；分别记作，，，，，，则从中任取2人的所有基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，共15个． 其中至少有1人在40岁以上的基本事件有9个，分别是，，，，，，，，．
所以在这6人中任意选取2人，至少有1人在40岁以上的概率为． ……12分
20. （本小题满分12分）
（I）证明：设与的交点为，连接
是矩形 为的中点
又为的中点
……5分
（II），，三棱锥的体积，
，
，设三棱锥的高为
即到平面的距离为． ……12分
21. （本小题满分12分）
解：（I）因为，所以由正弦定理得，即．
在中，且，所以．因为，所以．
又因为，所以．所以，，成等差数列． ……6分
（II）因为，所以．
所以，当且仅当时取等号．
所以的最小值为． ……12分
22. （本小题满分12分）
解：（I）∵，∴． 又点在椭圆上，∴
解得，∴所求椭圆方程为． ……5分
（II）∵，∴，设直线的方程：
联立方程组，消去得：．
，∴．
设，，，．
则
∵，∴的取值范围为
……12分
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