2017-2018学年天津市部分区高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．经过两点A（4，a），B（2，3）的直线的倾斜角为，则a=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．双曲线=1的离心率是（ ）
A． B． C． D．2
3．命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是（ ）
A．∀m∈N，曲线=1是椭圆 B．∀m∈N，曲线=1不是椭圆
C．∃m∈N+，曲线=1是椭圆 D．∃m∈N+，曲线=1不是椭圆
4．已知向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），若，则实数λ的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
5．“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A．π B．π C．π D．3π
7．直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．与k取值有关
8．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m∥β，则α⊥β
C．若m∥α，α∥β，则m∥β D．若m⊥n，m∥α，则n⊥α
9．已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为2，则点M到该抛物线的准线的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．已知P（x，y）为椭圆C：=1上一点，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1且MP⊥MF，则|PM|的取值范围是（ ）
A．[2，8] B．[，8] C．[2，] D．[，]
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
11．抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为 ．
12．椭圆=1的两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|= ．
13．已知三条直线l1：2x+my+2=0（m∈R），l2：2x+y﹣1=0，l3：x+ny+1=0（n∈R），若l1∥l2，l1⊥l3，则m+n的值为 ．
14．如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，点D在棱BB1上，且BD=1，则直线AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为 ．
15．平面上一质点在运动过程中始终保持与点F（1，0）的距离和直线x=﹣1的距离相等，若质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是 ．
三、解答题（共5小题，共60分）
16．（12分）已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0（m∈R）．
（1）求m的取值范围；
（2）若m=1，求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度．
17．（12分）已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k（x﹣2）相交于不同的A，B两点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）当k=时，求△OAB的面积．
18．（12分）如图，在多面体P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2．
（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；
（2）求三棱锥P﹣BCD的体积．
19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC
的中点．
（1）求证：C1D⊥D1E；
（2）动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，求λ的值；
（3）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求线段AD的长．
20．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，经过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得弦的长度为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B 两点（A，B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
天津市部分区2017～2018学年度第一学期期末考试
高二数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
A
A
D
A
B
C
D
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．
11． 12． 13． 14． 15.
三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12分）
解：（1）由题意知，解得.……………4分
（2）当时,由
得，………………………………………………………6分
所以圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离为，……………………8分
所以弦长的一半………………………………………10分
弦长为……………………………………………………………………12分
17．（12分）
解：（1）由方程，
消去后，整理得
设，由韦达定理,，……………2分
∵在抛物线上，
∴,，∴.…………………………4分
∵，
∴……………………………………………………………………6分
（2）因为，由（1）可得，
代入抛物线方程可得
∴， ……………………………………………………9分
∴………………………………12分
18．（12分）
解：（1）证明：在中，∵，
∴ ∴．……………………………………………………3分
又∵平面⊥平面，平面平面，
面，
∴面，又面，
∴平面⊥平面．………………………6分
（2）解：过作，
∵平面⊥平面，
∴⊥平面，
即为四棱锥的高．
又是边长为的等边三角形，
∴．………………………9分
在底面四边形中，，，
在中，斜边边上的高为，
此即为的高．
∴．…………………11分
∴．…………………12分
19．解：（12分）
（1）证明：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设,
则，，，，
,,，，
所以,，
所以，所以.……………………3分
（2）由,则，连接，所以，，，
设平面的法向量为，则，取
所以平面的一个法向量为，
因为平面，所以，即，所以.……7分
（3）连接，，设平面的法向量为，，，
则,取
所以平面的一个法向量为 ……………………9分
因为二面角的大小为，
所以，所以，
因为，所以，即 .……………………12分
20．（12分）
解：（1）由题意可得,,又，解得.
所以所求椭圆的方程为.……………………………………3分
（2）设，
由
消去得，
,化为.
所以，.…………………………7分
.
因为以为直径的圆过椭圆右顶点，，
所以，
所以，
所以.
化为，
解得.……………………………………………10分
且满足.
当时，，直线过定点与已知矛盾；
当时，，直线过定点.
综上可知，直线过定点.…………………………………………12分
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