广安市2017年秋高二期末试题
数学(理工类)
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.对变量有观测数据，得散点图(1)；对变量有观测数据(，得散点图(2)，由这两个散点图可以判断( )
A.变量与正相关，与正相关 B.变量与正相关，与负相关
C.变量与负相关，与正相关 D.变量与负相关，与负相关
2.若圆关于直线对称，则的值为( )
A. B.1 C.3 D.
3.下列命题中的真命题是( )
A.，使得 B.，
C.， D.，
4.广安市某学校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是
A.和 B.和92 C.91和 D.92和92
5.直线的倾斜角的范围是( )
A. B. C. D.
6.已知，，若，，且平面，则实数分别为( )
A. B. C. D.
7.如图，矩形中，点为边的中点，若在矩形内部随机取一个点，则点取自内部的概率等于( )
A. B. C. D.
8.方程表示的曲线是( )
A.两条直线 B.两条射线 C.两条线段 D.一条直线和一条射线
9.某高中在校学生2000人，为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了跑步和登山比赛活动，每人都参加而且只参加了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表：
高一年级
高二年级
高三年级
跑步
登山
其中，全校参与登山的人数占总人数的，为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二年级参与跑步的学生中应抽取( )
A.36人 B.60人 C.24人 D.30人
10.若：直线与双曲线只有一个公共点，：直线与双曲线相切，则是的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
11.已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )
A.直线 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.四进制数化为十进制数为 .
14.动圆过点，且与直线相切，则动圆的圆心的轨迹方程为 .
15.执行如图所示的程序框图，如果输入的是5，那么输出的是 .
16.下列命题中，所有正确命题的序号是 .
①若，分别是平面的法向量，则；
②若，分别是平面，的法向量，则；
③若是平面的法向量，与共面，则；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知直线的方程为.
(1)若直线与平行， 且过点，求直线的方程；
(2)若直线与垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程.
18.分别抛掷两颗骰子各一次，观察向上的点数，求：
(1)两数之和为5的概率；
(2)以第一次向上的点数为横坐标，第二次向上的点数为纵坐标的点在圆内部的概率.
19.设：实数满足，：实数满足.
(1)若，且为真，求实数的取值范围；
(2)若其中且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
20.如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为和的中点.
(1)求证：平面；
(2)在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
21.已知椭圆的离心率为，右焦点为，斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆上任意一点，若，求的最大值和最小值.
(3)求的面积.
22.已知动点，都在曲线(为参数)上，对应参数分别为与，为的中点.
(1)求曲线的普通方程；
(2)将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点.
23.已知，，，证明：
(1)；
(2).
广安市2017年秋高二期末试题参考答案及评分标准
数学(理工类)
一、选择题
1-5:CBCAB 6-10:BCDAB 11、12：CD
二、填空题
13.27 14. 15.120 16.①②③④
三、解答题
17.解：(1)由直线与平行，可设的方程为，
以，代入，得，即得，
∴直线的方程为.
(2)由直线与垂直，可设的方程为，
令，得，令，得，
故三角形面积为，
∴得，即，
∴直线的方程为或.
18.解：将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件.
(1)记“两数之和为5“为事件，则事件中含有4个基本事件：，，，，所以.
∴两数之和为5的概率为.
(2)基本事件总数为36，点在圆的内部记为事件，则包含8个事件中所含基本事件：，，，，，，，，所以，
∴点在圆内部的概率为.
19.解：(1)由得，
当时，，即为真时实数的取值范围是，
由，得，得，
即为真时实数的取值范围是，
若为真，则真且真，
∴实数的取值范围是.
(2)若是的充分不必要条件，则，
∴，
由，，
∴，且，
∴实数的取值范围是.
20.(1)证明：如图所示，分别以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，由已知得，，，，，，，，
∵平面的一个法向量是，
又∵，
∴，
∴，而平面，
∴平面.
(2)解：设点，
平面的一个法向量为，
则，∵，，
∴，取，则，，∴
，
平面的一个法向量，
依题意知，或，
∴，即，解得或(舍)，
∵，
∴在棱上存在一点，当的长为时，二面角的大小为.
21.解：(1)由已知得，，
解得，又，
所以椭圆的方程为.
(2)设则直线的方程为，
由，得①
，的最大值为1和最小值为.
(3)设直线的方程为，
由，得①
设的坐标分别为，，中点为，
则，，
因为是等腰的底边，所以，
所以的斜率，
解得，此时方程①为，
解得，，所以，，
所以，此时，点到直线的距离
，所以的面积.
22.解：(1)曲线的直角坐标方程：.
(2)依题意有，，因此，的轨迹的参数方程为(为参数，)，
点到坐标原点的距离，当时，，
故的轨迹过坐标原点.
23.解：(1)由柯西不等式得：
.
(2)由及得
，
∴.
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