邢台市2017～2018学年高三（上）期末测试
数学（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设复数，则复数的实部为（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
2.已知集合，，则的元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3.设是两个互相垂直的单位向量，则（ ）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
4.棱长为的正方体的8个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C. D．
5.若双曲线的焦点都在直线的下方，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
6.在中，，，，现有以下四个命题
；
的面积为；
；
中最大角的余弦值为．
那么，下列命题中为真命题的是（ ）
A． B．
C. D．
7.执行如图的程序框图，若输入的，则输出的（ ）
A．12 B．13 C.15 D．18
8.设满足约束条件，且目标函数的最大值为16，则（ ）
A．10 B．8 C.6 D．4
9.若函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
10.某几何体由一个棱柱与一个棱锥组合而成，其三视图如图所示，其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为2，正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ）
A． B．或6
C. D．或
11.若在区间上，函数的图像总在函数的图像的上方，则的最大值为（ ）
A． B． C. D．
12.若函数存在唯一的极值，且此极值不小于1，则
的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.某地区有1000家超市，其中大型超市有150家，中型超市有250家，小型超市有600家.为了了解各超市的营业情况，从中抽取一个容量为60的样本．若采用分层抽样的方法，则抽取的小型超市共有 家．
14.若，且为钝角，则 ．
15.已知函数的最小值为8，且，，则 ．
16.设，分别为曲线上不同的两点，，若，且，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设为数列的前项和，且.
（1）若，求；
（2）若，求数列的前30项和.
18.从2017年1月18日开始，支付宝用户可以通过“扫‘福’字”和“参与蚂蚁森林”两种方式获得福卡（爱国福、富强福、和谐福、友善福，敬业福），除夕夜22:18，每一位提前集齐五福的用户都将获得一份现金红包.某高校一个社团在年后开学后随机调查了80位该校在读大学生，就除夕夜22：18之前是否集齐五福进行了一次调查（若未参与集五福的活动，则也等同于未集齐五福），得到具体数据如下表：
（1）根据如上的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“集齐五福与性别有关”？
（2）计算这80位大学生集齐五福的频率，并据此估算该校10000名在读大学生中集齐五福的人数；
（3）为了解集齐五福的大学生明年是否愿意继续参加集五福活动，该大学的学生会从集齐五福的学生中，选取2位男生和3位女生逐个进行采访，最后再随机选取3次采访记录放到该大学的官方网站上，求最后被选取的3次采访对象中至少有一位男生的概率.
参考公式：.
附表：
19.如图，在各棱长均为4的直四棱柱中，，为棱上一点.
（1）证明：平面平面；
（2）在图中作出点在平面内的正投影（说明作法及理由），并求三棱锥的体积.
20.已知椭圆的焦距与椭圆的短轴长相等，且与的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为，与直线（为坐标原点）垂直的直线与交于两点，且与圆相切．
（1）求的方程；
（2）若，求圆的方程．
21.已知，函数.
（1）若曲线在点处的切线的斜率为，求的值；
（2）设，证明：对恒成立；
（3）若，证明：对恒成立.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若直线与直线交于点，与曲线交于两点．且，求．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）若存在，使得成立，求的取值范围．
试卷答案
一、选择题
1-5:CCADD 6-10:BCAAD 11、12：DB
二、填空题
13.36 14.-5 15.5 16.8
三、解答题
17.解：（1）∵，∴，
∵，∴.
∴.
（2）∵，∴.
∴，
∴.
18.解：（1）根据列联表中的数据，得到的观测值为
，
故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“集齐五福与性别有关”.
（2）这80位大学生集齐五福的频率为.
据此估算该校10000名在读大学生中集齐五福的人数为.
（3）设选取的2位男生和3位女生分别记为，随机选取3次采访的所有结果为，，，，，共有10个基本事件，至少有一位男生的基本事件有9个，故所求概率为.
19.（1）证明：∵底面为菱形，∴.
在直四棱柱中，底面，∴.
∵，∴平面.
又平面，∴平面平面.
（2）解：设与交于点，连接，
过作，为垂足，即为在平面内的正投影.
理由如下：
∵平面，∴，
又，，∴平面，
∴，又，∴平面.
∵，，
∴，由得，
过作，垂足为，由得.
∴.
20.解：（1）由题意可得，∴，
故的方程为.
（2）联立，得，
∴，又在第一象限，∴.
故可设的方程为.
联立，得，
设，，则，，
∴，
解得，满足，又到直线的距离为，则，故圆的方程为.
21.（1）解：∵，∴，
∴，∴.
（2）证明：，令得，
令得，递增；令，得，递减.
∴.∵，∴，∴.
（3）证明：，令得，
令，得，递增；令，得，递减.
∴.
∵，∴，∴，∴，∴.
又，∴，即.
22.解：（1）∵，∴，故曲线的极坐标方程为.
（2）将代入得.
将代入，
得，则，则，∴.
23.解：（1）由得，∴，
或，或，解得.
（2）当时，，∴存在，
使得即成立，
∴存在，使得成立，∴，∴.
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