2017~2018学年度第一学期期末考试
高三数学（理科）
2018.1
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。
第I卷（选择题 共60分）
注意事项：
1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。
3.考试结束后，监考人员将答题卡和第II卷的答题纸一并收回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，则
A. B. C. D.
2.已知命题；命题命题，则下列命题中为真命题的是
A. B. C. D.
3. 的展开式中，的系数为
A.30 B.15 C.20 D.10
4.已知函数，则的图像大致为
5.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人所得与下三人等。问各得几何？”其意思是：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列。问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）。这个问题中，戊所得为
A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱
6.若直线被圆截得的线段最短，则的值为
A. B. C. D.
7.为了得到的图像，只需把图像上的所有的点
A.向右平移个单位，同时横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
B.向左平移个单位，同时横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
C.横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
D.横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
8.某几何体的三视图如图所示，俯视图由正三角形及其中心与三个顶点的连线组成，则该几何体外接球的表面积为
A. B.
C. D.
9.在数列中，，则的值为
A. B.
C. D.
10.设，则有
A. B. C. D.
11.有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，5号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名，比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有2
人猜对比赛结果，则此2人是
A.甲、乙 B.甲、丙 C.乙、丙 D.乙、丁
12.若函数有唯一零点，则实数的值为
A. B. C. D.
第II卷（非选择题 共90分）
注意事项：1.第II卷包括填空题和解答题共两个答题。
2.第II卷所有题目的答案必须用0.5mm黑色签字笔答在“答题纸”的指定位置上。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量与向量方向相同，则____________.
14.已知满足约束条件，则的最大值为_________________.
15.已知抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合，若点F到双曲线的一条渐近线的距离为1，则的焦点F到其准线的距离为__________________.
16.已知函数，且，其中为奇函数，为偶函数。若关于的方程上在有解，则实数的取值范围是______________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
若函数的图像与直线相切，并且两相邻切点的横坐标相差。
（I）求和的值；
（II）求函数的单调递减区间。
18.（本小题满分12分）
在数列中，.
（I）若存在常数，使得是公比为3的等比数列，求的值；
（II）对于（I）中的，记，求数列的前项和。
19.（本小题满分12分）
如图，在平面四边形ABCD中，分别为△ABC的内角A、B、C的对边，且满足。
（I）求B；
（II）若∠BAD=60°，∠BCD=75°，AD=2，BC=4，求AB的长。
20.（本小题满分12分）
如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1（侧棱与底面垂直）的底面是菱形。
（I）求证：平面AB1C⊥平面B1D1D；
（II）若点E是棱CC1的靠近点C1的一个三等分点，求平面AME与平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值。
21.（本小题满分12分）
已知椭圆，四点中，恰有三点在椭圆C上。
（I）求椭圆C的方程；
（II）设直线不经过点P1且与C相交于A，B两点。若直线P1A与直线P1B的斜率之积为，证明：的斜率为定值。
22.（本小题满分12分）
已知函数
（I）求的单调区间，证明在区间上有且只有一个实根（记为）；
（II）表示两个数中的较小者，设，若关于的方程在上有两个不等实根，求证：.
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