2017～2018学年度第一学期期末考试
高三理科数学试题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数的共轭复数，则( )
A. B. C. D.
3.某校连续12天对同学们的着装进行检查，着装不合格的人数用茎叶图表示，如图，则该组数据的中位数、众数、极差分别是( )
A.24，33，27 B.27，35，28 C.27，35，27 D.30，35，28
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
5.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知，下列程序框图设计的是求的值，在处应填的执行语句是( )
A. B. C. D.
6.将函数的图像上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图像，则函数的图像的一个对称中心为( )
A. B. C. D.
7.已知等边（为坐标原点）的三个顶点在抛物线上，且的面积为，则( )
A. B.3 C. D.
8.在中，内角的对边分别为，且，，，则( )
A. B.2 C.3 D.
9.函数，的大致图像是( )
A. B. C. D.
10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
11.在斜三棱柱中，侧棱平面，且为等边三角形，，则直线与平面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
12.已知双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线的左顶点，双曲线的一条渐近线与直线交于点，，且，则双曲线的离心率为( )
A.3 B. C.2 D.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知的展开式中的常数项为8，则_________.
14.平行四边形中，，，，则_________.
15.已知实数满足不等式组，若的最小值为8，则的取值范围是________.
16.若不等式在上恒成立，则的取值范围是________.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列，满足，；
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前项的和.
18.如图，直三棱柱中，侧面是正方形，侧面，，点是的中点.
（1）求证：//平面；
（2）若，垂足为，求二面角的余弦值.
19.2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1000人的得分数据，其频率分布直方图如图所示：
（1）估计该组数据的中位数、众数；
（2）由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表），利用该正态分布，求；
（3）在（2）的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
（ⅰ）得分不低于可获赠2次随机话费，得分低于则只有1次；
（ⅱ）每次赠送的随机话费和对应概率如下：
现有一位市民要参加此次问卷调查，记(单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列和数学期望.
附：，
若，则，.
20.已知抛物线的焦点为，且过点，椭圆的离心率为，点为抛物线与椭圆的一个公共点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆内一点的直线的斜率为，且与椭圆交于两点，设直线，（为坐标原点）的斜率分别为，，若对任意，存在实数，使得，求实数的取值范围.
21.已知函数；
（1）若，求证：在上单调递增；
（2）若，试讨论零点的个数.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线和曲线的直角坐标方程，并指明曲线的形状；
（2）设直线与曲线交于两点，为坐标原点，且，求.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数
（1）若不等式恒成立，求的取值范围;
（2）求不等式的解集.
试卷答案
一、选择题
1-5:DABAB 6-10:BCBCA 11、12：DC
二、填空题
13.3 14.3 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）由，得，所以，
所以数列是首项为1，公差为的等差数列，
所以，即.
（2）设
所以，即，
.
18.解：（1）如图，连结，交于，连结，由是正方形，易得为的中点，从而为的中位线，所以，因为面，面，所以平面.
（2）由已知底面，得底面，得，，又，故，，两两垂直，
如图，分别以，，所在直线为轴，为原点建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
则，，，
设，，则由，
得，即得，
于是，所以，
又，所以，解得，
所以，，，
设平面的法向量是，则，即，
令，得.
又平面的一个法向量为，则，即，
令，得，
设二面角的平面角为，则，
由，面面，可知为锐角，
即二面角的余弦值为.
19.解：（1）由，得，设中位数为，由，解得，由频率分布直方图可知众数为65.
（2）从这1000人问卷调查得到的平均值为
因为由于得分服从正态分布，
所以.
（3）设得分不低于分的概率为，则，
的取值为10，20，30，40，
，，
，，
所以的分布列为：
所以.
20.解：（1）由点在抛物线上，得，解得.
所以抛物线的方程为，其焦点，
设，则由抛物线的定义可得，解得，
代入抛物线方程可得，解得，所以，
椭圆的离心率，所以，
又点在椭圆上，所以，解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为.
由，消元可得，
设，，则，，
而，由，得，
因为此等式对任意的都成立，所以，即.
由题意得点在椭圆内，故，即，解得.
21.解：（1）时，，，
要证在上单调递增，只要证：对恒成立，
令，则，当时，，
当时，，故在上单调递减，在上单调递增，
所以，即（当且仅当时等号成立），
令，则，
当时，，当时，，故在（0，1）上单调递减，在
上单调递增，所以，即（当且仅当时取等号），
（当且仅当时等号成立）
在上单调递增.
（2）由有，显然是增函数，
令，得，，，
则时，，时，，
∴在上是减函数，在上是增函数，
∴有极小值，，
①当时，，，有一个零点1；
②时，，，没有零点；
③当时，，，又，
又对于函数，时，
∴当时，，即，
∴，
令，则，
∵，∴，∴，∴，
又，，∴有两个零点，
综上，当时，没有零点；时，有一个零点；时，有两个零点.
22.解：（1）由消去参数，得，
由，得，
所以曲线的直角坐标方程为，
即.
即曲线是圆心为，半径的圆.
（2）联立直线与曲线的方程，得，消去，得，
设对应的极径分别为，，则，，
所以.
23.解：（1）因为，
所以由恒成立得，
即或
所以或.
（2）不等式等价于
或，
.
图像如下：
由图知解集为或.
微信/支付宝扫码支付