苏北四市2018届高三一模数学试卷
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试
时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及
答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置
作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：1.柱体的体积公式：，其中是柱体的底面面积，是高．
2.圆锥的侧面积公式：，其中是圆锥底面的周长，是母线长．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．
1．已知集合，，则 ▲ ．
2．已知复数（为虚数单位），则的模为 ▲ ．
3．函数的定义域为 ▲ ．
4．如图是一个算法的伪代码，运行后输出的值为 ▲ ．
150 200 250 300 350 400 450
成绩/分
0.001
频率
组距
（第5题）
（第17题）
0.003
0.004
0.005
a
（第4题）
5．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有 ▲ 人．
6．在平面直角坐标系中，已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ▲ ．
7．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为 ▲ ．
8．已知正四棱柱的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是 ▲ ．
9．若函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是，，，则实数的值为 ▲ ．
10．在平面直角坐标系中，曲线上任意一点到直线的距离的最小值为 ▲ ．
11．已知等差数列满足，，则的值为 ▲ ．
12．在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是 ▲ ．
13．已知函数函数，则不等式的解集为 ▲ ．
B
（第14题）
A
D
C
E
14．如图，在中，已知，为边的中点．若，垂足为，则EB·EC的值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
15．(本小题满分14分)
在中，角，，所对的边分别为，，，且,.
⑴求的值；
⑵若，求的面积.
16．（本小题满分14分）
（第16题）
C
如图，在直三棱柱中，，，，分别是， 的中点.
求证：⑴；
⑵.
（第16题）
C
（第16题）
C
（第16题）
C
17．(本小题满分14分)
某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1．为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180°而成，如图2．已知圆O的半径为10 cm，设∠BAO=θ，，圆锥的侧面积为S cm2．
⑴求S关于θ的函数关系式；
⑵为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大．求S取得最大值时腰AB的长度．
A
B
C
O
A
B
C
O
θ
图1
图2
（第17题）
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且过点.为椭圆的右焦点，为椭圆上关于原点对称的两点，连接分别交椭圆于两点.
⑴求椭圆的标准方程；
⑵若，求的值；
（第18题）
⑶设直线，的斜率分别为，，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
（第18题）
19．(本小题满分16分)
已知函数．
⑴当时，求函数的极值；
⑵若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围．
20．（本小题满分16分）
已知数列，其前项和为，满足，，其中，，，.
⑴若，，（），求证：数列是等比数列；
⑵若数列是等比数列，求，的值；
⑶若，且，求证：数列是等差数列.
数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4- 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
A
B
C
D
E
F
(第21－A题)
O
.
如图，是圆的直径，弦,的延长线相交于点，垂直的延长线于点．
求证：
A
B
C
D
E
F
(第21－A题)
O
.
A
B
C
D
E
F
(第21－A题)
O
.
A
B
C
D
E
F
(第21－A题)
O
.
A
B
C
D
E
F
(第21－A题)
O
.
A
B
C
D
E
F
(第21－A题)
O
.
B．[选修4- 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵，，若矩阵，求矩阵的逆矩阵．
C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线（为参数）与圆的位置关系．
D．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知都是正实数，且，求证: ．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写
出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
在正三棱柱中，已知，，，，分别是，和的中点．以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．
（第22题）
⑴求异面直线与所成角的余弦值；
⑵求二面角的余弦值．
23．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知平行于轴的动直线交抛物线于点，点为的焦点．圆心不在轴上的圆与直线，，轴都相切，设的轨迹为曲线．
⑴求曲线的方程；
⑵若直线与曲线相切于点，过且垂直于的直线为，直线，分别与轴相交于点，．当线段的长度最小时，求的值．
数学参考答案与评分标准
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．
1． 2． 3． 4． 5．750 6． 7． 8．
9． 10． 11． 12． 13． 14．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
15．（1）在中，由，得为锐角，所以，
所以，………………………………………………………………2分
所以. ………………………………4分
…………………………………………………………6分
（2）在三角形中,由，
所以， ………………………………………………8分
由，…………………………10分
由正弦定理,得，………………………12分
所以的面积. …………………………14分
16．（1）证明：取的中点，连结
因为分别是的中点，
所以且
在直三棱柱中，，，
又因为是 的中点，
所以且. …………………………………………2分
所以四边形是平行四边形，
所以， ………………………………………………………………4分
而平面，平面，
所以平面. ……………………………………………………6分
（第16题）
N
M
B
P
（2）证明：因为三棱柱为直三棱柱，所以面，
又因为面，
所以面面， …………………8分
又因为，所以，
面面，，
所以面， ………………………10分
又因为面，
所以，即，
连结，因为在平行四边形中，，
所以，
又因为，且，面，
所以面，……………………………………………………………………12分
而面，
所以.……………………………………………………………………………14分
D
θ
A
B
C
O
E
17．（1）设交于点，过作，垂足为，
在中，，，
…………………………………………………………2分
在中，，
…………………………………………………………4分
所以
， ……………………6分
（2）要使侧面积最大，由（1）得：
…………8分
设
则，由得：
当时，，当时，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以在时取得极大值，也是最大值；
所以当时，侧面积取得最大值， …………………………11分
此时等腰三角形的腰长
答：侧面积取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为．…………14分
18．（1）设椭圆方程为，由题意知：……………2分
解之得：，所以椭圆方程为： ……………………………4分
（2）若，由椭圆对称性，知，所以，
此时直线方程为， ……………………………………………6分
由，得，解得（舍去），…………8分
故．…………………………………………………………………10分
（3）设，则，
直线的方程为，代入椭圆方程，得
，
因为是该方程的一个解，所以点的横坐标，…………………12分
又在直线上，所以，
同理，点坐标为，， ……………………………………………14分
所以，
即存在，使得． ………………………………………………………16分
19．（1）函数的定义域为
当时，，
所以………………………………………………2分
所以当时，，当时，，
所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，
所以当时，函数取得极小值为，无极大值；…………………4分
（2）设函数上点与函数上点处切线相同，
则
所以 ……………………………………6分
所以，代入得：
………………………………………………8分
设，则
不妨设则当时，，当时，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，……………10分
代入可得：
设，则对恒成立，
所以在区间上单调递增，又
所以当时，即当时, ……………12分
又当时
……………………………………14分
因此当时，函数必有零点；即当时，必存在使得成立；
即存在使得函数上点与函数上点处切线相同．
又由得：
所以单调递减，因此
所以实数的取值范围是．…………………………………………………16分
20．（1）证明：若，则当(),
所以，
即，
所以， ……………………………………………………………2分
又由，，
得，，即，
所以，
故数列是等比数列．……………………………………………………………4分
（2）若是等比数列，设其公比为（ ），
当时，，即，得
， ①
当时，，即，得
， ②
当时，，即，得
， ③
②-①´，得 ，
③-②´，得 ，
解得．
代入①式，得．…………………………………………………………………8分
此时()，
所以，是公比为１的等比数列，
故． ……………………………………………………………………10分
（3）证明：若，由，得，
又，解得．…………………………………………………12分
由，， ，，代入得，
所以，，成等差数列，
由，得，
两式相减得：
即
所以
相减得：
所以
所以
， ……………………………………14分
因为，所以，
即数列是等差数列.………………………………………………………………16分
数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准
21．A．证明：连接，因为为圆的直径，所以，
又，则四点共圆，
所以． …………………………………………………………5分
又△∽△，
所以，即，
∴． …………10分
B．因为， ………………………………………5分
所以． ………………………………………………………10分
C.把直线方程化为普通方程为． ……………………………3分
将圆化为普通方程为，
即． ………………………………………………………………6分
圆心到直线的距离，
所以直线与圆相切.…………………………………………………………………10分
D．证明：因为
， …………………………………………5分
又，
所以．…………………………………………10分
22．（1）因为，则，
所以，， ………………………………………2分
记直线和所成角为，
则，
所以直线和所成角的余弦值为． ………………………………………4分
（2）设平面的法向量为 ，
因为，，
则，取得： ……………………………6分
设平面的一个法向量为，
因为，，
则，取得： ………………………8分
根据图形可知二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为； ……………………………………10分
23．（1）因为抛物线的方程为，所以的坐标为，
设，因为圆与轴、直线都相切，平行于轴，
所以圆的半径为，点，
则直线的方程为，即，………………………2分
所以，又，
所以，即，
所以的方程为 ………………………………………………4分
（2）设， ，，
由（1）知，点处的切线的斜率存在，由对称性不妨设，
由，所以，，
所以，， ……………………………………………………6分
所以．……………………………………8分
令，，
则，
由得，由得，
所以在区间单调递减，在单调递增，
所以当时，取得极小值也是最小值，即取得最小值
此时．……………………………………………………………10分
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