武昌区2018届高三年级元月调研考试
文科数学
本试卷共5页,23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷答题卡相应位置上.
3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.
4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={﹣1,0,1,2,3},B={x|x2﹣3x<0},则A∩B=
A. B. C. D.
2.已知复数满足,则
A. B. C. D.
3. 奇函数在单调递增,若,则满足的的取值范围是
A. B. C. D.
4.设实数满足条件那么的最大值为
开始
输入a
x=2,n=2,k=0,s=0
输出s
结束
是
否
s=sx+a
k=k+1
A. B. C.1 D.2
5.执行如图所示的程序框图,如果输入的依次为2,2,5时,
输出的为17,那么在框中,可以填入
A. ? B. ?
C. ? D. ?
6.函数的部分图像如图所示,给出以下结论:
①的周期为2;
②的一条对称轴为;
③在,
上是减函数;
④的最大值为A.
则正确结论的个数为
A.1 B.2
C.3 D.4
7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为
A.
B.
C.
D.3
8. 在中,,,分别是角,,的对边,且,则
A. B. C. D.
9.已知点在双曲线上,轴(其中为双曲线的焦点),点 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为,则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
10.已知底面半径为1,高为的圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上,则此球的表面积为
A. B. C. D.
11.过抛物线:的焦点的直线与抛物线C交于,两点,与其准线交于点,且,则
A. B. C. D.1
12.已知函数在区间上有两个不同的零点,则实数的取值范围为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生必须做答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若,则 .
14.设,,,则,,的大小关系是__________.
8 7 7
9 3 0 9 x 1
15.将某选手的7个得分去掉1个最高分,去掉1个最低
分,剩余5个分数的平均数为91,现场作的7个分数
的茎叶图有一个数据模糊,无法辨认,在图中以表
示,则5个剩余分数的方差为 .
16.在矩形ABCD中,AB=2,AD=1.边DC上(包含D、C)上的动点P与CB延长线上(包含点B)的动点Q满足,则的最小值为 .
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分.
17.(12分)
已知数列的前项和.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,求数列的前项和.
18.(12分)
如图,三棱锥P﹣ABC中,底面ABC是边长为2的正三角形,PA⊥PC,PB=2.
P
A
B
C
(1)求证:平面PAC⊥平面ABC;
(2)若,求三棱锥P﹣ABC的体积.
19.(12分)
在对人们的休闲方式的一次调查中,用简单随机抽样方法调查了125人,其中女性70人,男性55人.女性中有40人主要的休闲方式是看电视,另外30人主要的休闲方式是运动;男性中有20人主要的休闲方式是看电视,另外35人主要的休闲方式是运动.
(1)根据以上数据建立一个列联表;
(2)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下,认为性别与休闲方式有关系?
(3)在休闲方式为看电视的人中按分层抽样方法抽取6人参加某机构组织的健康讲座,讲座结束后再从这6人中抽取2人作反馈交流,求参加交流的恰好为2位女性的概率.
附:
P()
0.05
0.025
0.010
k
3.841
5.024
6.635
休闲方式
性别
看电视
运动
合计
女
男
合计
20.(12分)
已知椭圆C:经过点,且离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线:与椭圆C交于两个不同的点A,B,求面积的最大值(O为坐标原点).
21.(12分)
已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,证明.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2α﹣4cosα=0.已知直线l的参数方程为(为参数),点M的直角坐标为.
(1)求直线l和曲线C的普通方程;
(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
(1)已知函数的定义域为,求实数a的取值范围;
(2)若正实数,满足,求的取值范围.
武昌区2018届高三年级元月调研考试
文科数学参考答案及评分细则
一、选择题:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
D
C
B
A
D
D
A
C
B
A
二、填空题:
13. 14. 6 15. 16.
三、解答题:
17.(12分)
解析:(1)当时,,所以.
当时,.
于是,即.
所以数列是以为首项,公式的等比数列.
所以. .................................................4分
(2)因为,
所以,
于是,
两式相减,得,
于是. .................................................12分
P
A
B
C
O
18.(12分)
解析:(1)取AC的中点O,连接BO,PO.
因为ABC是边长为2的正三角形,
所以BO⊥AC,BO=.
因为PA⊥PC,所以PO=.
因为PB=2,所以OP2+OB2=PB2,所以PO⊥OB.
因为AC,OP为相交直线,所以BO⊥平面PAC.
又OB⊂平面ABC,
所以平面PAB⊥平面ABC..................................................6分
(2)因为PA=PC,PA⊥PC,AC=2,
所以.
由(1)知BO⊥平面PAC.
所以. .................................................12分
19.(12分)
解析:(1) 列联表为:
休闲方式
性别
看电视
运动
合计
女
40
30
70
男
20
35
55
合计
60
65
125
.................................................2分
(2)假设“休闲方式与性别无关”,计算
.
因为,所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“休闲方式与性别有关”. .................................................6分
(3)休闲方式为看电视的共60人,按分层抽样方法抽取6人,则男性有2人,可记为A、B,女性4人,可记为c,d,e、f.
现从6人中抽取2人,基本事件是AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共15种不同的方法,恰是2女性的有cd、ce、cf、de、df、ef共6种不同的方法,故所求概率为. ................................................12分
20.(12分)
解析:(1)由题意,知考虑到,解得
所以,所求椭圆C的方程为. .................................................4分
(2)设直线的方程为,代入椭圆方程,
整理得.
由,得. ①
设,,则,.
于是
.
又原点O到直线AB:的距离.
所以.
因为,当仅且当,即时取等号.
所以,即面积的最大值为. ..............................12分
21.(12分)
解析:(1)函数的定义域为,且.
当时,,在上单调递增;
当时,若时,则,函数在上单调递增;若时,则,函数在上单调递减. .................................................4分
(2)由(1)知,当时,.
要证,只需证,
即只需证
构造函数,则.
所以在单调递减,在单调递增.
所以.
所以恒成立,
所以. .................................................12分
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
解析:(1)∵ρsin2α﹣2cosα=0,∴ρ2sin2α=4ρcosα,
∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x.
由消去,得.
∴直线l的直角坐标方程为..................................................5分
(2)点M(1,0)在直线l上,
设直线l的参数方程(t为参数),A,B对应的参数为t1,t2.
将l的参数方程代入y2=4x,得.
于是,.
∴. .................................................10分
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
解析:(1)由题意知恒成立.
因为,
所以,解得或. .................................................5分
(2)因为(,
所以,
即的取值范围为. .................................................10分