2017-2018学年度第一学期期末考试试题
高二数学
一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）
1.双曲线的渐近线方程是 ．
2.焦点为的抛物线标准方程是 ．
3.命题“若，则”的否命题为 ．
4.等差数列中，为其前项和，若，则 ．
5.函数的定义域是 ．
6.已知实数，满足条件则的最大值是 ．
7.在等比数列中，，，则 ．
8.对任意的，都有成立，则实数的取值范围是 ．
9.数列满足，（），则 ．
10.函数（）的极小值是 ．
11.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若，则直线的斜率为 ．
12.已知，，且，则的最小值是 ．
13.已知，为椭圆（）的左、右焦点，若椭圆上存在点使（为半焦距）且为锐角，则椭圆离心率的取值范围是 ．
14.已知实数，满足，则的最大值是 ．
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.已知实数，：，：．
（1）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
（2）若，“”为真命题，求实数的取值范围．
16.如图，在正四棱柱中，，，点是的中点，点在上．
（1）若异面直线和所成的角为，求的长；
（2）若，求二面角的余弦值．
17.我市“金牛”公园欲在长、宽分别为 、的矩形地块内开凿一“挞圆”形水池（如图），池边由两个半椭圆和（）组成，其中，“挞圆”内切于矩形且其左右顶点，和上顶点构成一个直角三角形．
（1）试求“挞圆”方程；
（2）若在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，则该网箱水面面积最大为多少？
18.设是公差为（）且各项为正数的等差数列，是公比为各项均为正数的等比数列，（）．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，，．
（i）求数列与的通项公式；
（ii）求数列的前项和．
19.如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右顶点，是上顶点，是椭圆位于第三象限上的任一点，连接，分别交坐标轴于，两点．
（1）若点为左焦点且直线平分线段，求椭圆的离心率；
（2）求证：四边形的面积是定值．
20.已知函数.
（1）若函数的图象与直线相切，求的值；
（2）求在区间上的最小值；
（3）若函数有两个不同的零点，，试求实数的取值范围．
2017-2018学年度第一学期期末考试试题高二数学答案
一、填空题
1. 2. 3.若，则 4.27
5. 6.6 7. 8. 9.
10. 11. 12.4 13. 14.4
二、解答题
15.解：（1）因为：；
又是的必要不充分条件，所以是的必要不充分条件，
则，得，又时，所以．
（2）当时，：，
：或．
因为是真命题，所以
则．
16.解：以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，为轴正半轴，建立空间直角坐标系．
（1）则，，，，设，
所以，
因为和所成的角为，所以，
则，，
所以．
（2）当时，则，
设面的法向量为，面的法向量，
因为，，，
则，，∴
取，则，，则，
又，，∴
所以，，，则，
根据图形可知，二面角平面角为锐角，等于这两个法向量的夹角，
所以其大小的余弦值为．
17.解：（1）由题意知
解得所以“挞圆”方程为：
和.
（2）设为矩形在第一象限内的顶点，为矩形在第二象限内顶点，
则解得 ，
所以内接矩形的面积，
当且仅当时取最大值510.
答：网箱水面面积最大510.
18.解：（1）因为，
所以（常数），
由等差数列的定义可知数列是以为公差的等差数列．
（2）（i）因，，，
所以因的各项为正数，所以
则，．
（ii）因，，所以，
所以，①
，②
①②得
，
所以．
19.解：（1）设椭圆焦距为，则，，直线的方程为，
联立方程组，即，
所以，
又中点，因平分线段，所以，，三点共线，
则，所以，则，
所以．
（2）设，则直线的方程为，所以；
直线的方程为，所以；
所以，，
因为，
则四边形的面积
，
所以四边形的面积是定值．
20.解：（1）设切点，因切线方程为，
所以，①
又，②
由①得，③，将③代入②得，
所以，因为在上递增，则是唯一根，
所以切点，代入切线方程得．
（2）因为，
所以，因，
当时，，则在上单调递增；
所以在递增，则；
当时，有，有，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则当时，在递减，则；
当时，在递增，则；
当时，在递减，在递增，则．
综上有
（3）由（2）可知，当时，在上单调递增，则至多有一个零点，又当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，若由两个相异零点，则必有，
即，则．
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