江苏连云港市2017-2018高二数学上学期期末试卷(理科有答案
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资料简介
‎2017-2018学年度第一学期期末考试试题 高二数学 一、填空题(每题5分,满分70分,将答案填在答题纸上)‎ ‎1.双曲线的渐近线方程是 .‎ ‎2.焦点为的抛物线标准方程是 .‎ ‎3.命题“若,则”的否命题为 .‎ ‎4.等差数列中,为其前项和,若,则 .‎ ‎5.函数的定义域是 .‎ ‎6.已知实数,满足条件则的最大值是 .‎ ‎7.在等比数列中,,,则 .‎ ‎8.对任意的,都有成立,则实数的取值范围是 .‎ ‎9.数列满足,(),则 .‎ ‎10.函数()的极小值是 .‎ ‎11.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于,两点,若,则直线的斜率为 .‎ ‎12.已知,,且,则的最小值是 .‎ ‎13.已知,为椭圆()的左、右焦点,若椭圆上存在点使(为半焦距)且为锐角,则椭圆离心率的取值范围是 .‎ ‎14.已知实数,满足,则的最大值是 .‎ 二、解答题 (本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎15.已知实数,:,:. ‎ ‎(1)若是的必要不充分条件,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若,“”为真命题,求实数的取值范围.‎ ‎16.如图,在正四棱柱中,,,点是的中点,点在上. ‎ ‎(1)若异面直线和所成的角为,求的长;‎ ‎(2)若,求二面角的余弦值.‎ ‎17.我市“金牛”公园欲在长、宽分别为 、的矩形地块内开凿一“挞圆”形水池(如图),池边由两个半椭圆和()组成,其中,“挞圆”内切于矩形且其左右顶点,和上顶点构成一个直角三角形.‎ ‎(1)试求“挞圆”方程;‎ ‎(2)若在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼,则该网箱水面面积最大为多少?‎ ‎18.设是公差为()且各项为正数的等差数列,是公比为各项均为正数的等比数列,().‎ ‎(1)求证:数列是等差数列;‎ ‎(2)若,,.‎ ‎(i)求数列与的通项公式;‎ ‎(ii)求数列的前项和.‎ ‎19.如图,在平面直角坐标系中,是椭圆的右顶点,是上顶点,是椭圆位于第三象限上的任一点,连接,分别交坐标轴于,两点.‎ ‎(1)若点为左焦点且直线平分线段,求椭圆的离心率;‎ ‎(2)求证:四边形的面积是定值.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1)若函数的图象与直线相切,求的值;‎ ‎(2)求在区间上的最小值;‎ ‎(3)若函数有两个不同的零点,,试求实数的取值范围.‎ ‎2017-2018学年度第一学期期末考试试题高二数学答案 一、填空题 ‎1. 2. 3.若,则 4.27‎ ‎5. 6.6 7. 8. 9.‎ ‎10. 11. 12.4 13. 14.4‎ 二、解答题 ‎15.解:(1)因为:;‎ 又是的必要不充分条件,所以是的必要不充分条件,‎ 则,得,又时,所以.‎ ‎(2)当时,:,‎ ‎:或.‎ 因为是真命题,所以 则.‎ ‎16.解:以为原点,为轴正半轴,为轴正半轴,为轴正半轴,建立空间直角坐标系.‎ ‎(1)则,,,,设,‎ 所以,‎ 因为和所成的角为,所以,‎ 则,,‎ 所以.‎ ‎(2)当时,则,‎ 设面的法向量为,面的法向量,‎ 因为,,,‎ 则,,∴‎ 取,则,,则,‎ 又,,∴‎ 所以,,,则,‎ 根据图形可知,二面角平面角为锐角,等于这两个法向量的夹角,‎ 所以其大小的余弦值为.‎ ‎17.解:(1)由题意知 解得所以“挞圆”方程为:‎ 和.‎ ‎(2)设为矩形在第一象限内的顶点,为矩形在第二象限内顶点,‎ 则解得 ,‎ 所以内接矩形的面积,‎ 当且仅当时取最大值510.‎ 答:网箱水面面积最大510.‎ ‎18.解:(1)因为,‎ 所以(常数),‎ 由等差数列的定义可知数列是以为公差的等差数列.  (2)(i)因,,,‎ 所以因的各项为正数,所以 则,.‎ ‎(ii)因,,所以,‎ 所以,①‎ ‎ ,②‎ ‎①②得 ‎,‎ 所以.‎ ‎19.解:(1)设椭圆焦距为,则,,直线的方程为,‎ 联立方程组,即,‎ 所以,‎ 又中点,因平分线段,所以,,三点共线,‎ 则,所以,则,‎ 所以.‎ ‎(2)设,则直线的方程为,所以;‎ 直线的方程为,所以;‎ 所以,,‎ 因为,‎ 则四边形的面积 ‎,‎ 所以四边形的面积是定值.‎ ‎20.解:(1)设切点,因切线方程为,‎ 所以,①‎ 又,②‎ 由①得,③,将③代入②得,‎ 所以,因为在上递增,则是唯一根,‎ 所以切点,代入切线方程得.‎ ‎(2)因为,‎ 所以,因,‎ 当时,,则在上单调递增;‎ 所以在递增,则;‎ 当时,有,有,‎ 所以在上单调递减,在上单调递增,‎ 则当时,在递减,则;‎ 当时,在递增,则;‎ 当时,在递减,在递增,则.‎ 综上有 ‎(3)由(2)可知,当时,在上单调递增,则至多有一个零点,又当时,在上单调递减,在上单调递增,所以,若由两个相异零点,则必有,‎ 即,则. ‎

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