常德市2017-2018学年度上学期高三检测考试
数学（文科试题卷）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
2.在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.在某学校图书馆的书架上随意放着有编号为的五本史书，若某同学从中任意选出两本史书，则选出的两本史书编号相连的概率为（ ）
A． B． C． D．
4.元朝著名数学家朱世杰《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”其意思为：“诗人带着装有一倍分酒的壶去春游，先遇到酒店就将酒添加一倍，后遇到朋友饮酒一斗，如此三次先后遇到酒店和朋友，壶中酒恰好饮完，问壶中原有多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，那么在这个空白框中可以填入（ ）
A． B． C. D．
5.已知向量，若满足，则向量
的坐标为（ ）
A． B． C. D．
6.已知棱长为的正方体的四个顶点在半球面上，另四个顶点在半球的底面大圆内，则该半圆表面积为（ ）
A． B． C. D．
7.将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则下列说法不正确的是（ ）
A．的周期为 B．
C. 是的一条对称轴 D．为奇函数
8.函数的部分图像大致为（ ）
A． B．
C. D．
9.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为（ ）
A． B． C. D．
10.已知函数（其中），则下列选项正确的是（ ）
A．，都有 B．，当时，都有
C. ，都有 D．，当时，都有
11.记，其中表示不超过的最大整数，若方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
12.已知分别为双曲线的左右顶点，两个不同动点在双曲线上且关于轴对称，设直线的斜率分别为，则当取最小值时，双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.曲线在点处的切线的方程为 ．
14.设满足条件，则目标函数的最小值为 ．
15.已知某产品连续个月的广告费（千元）与销售额（万元）（），经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：①；②广告费用和销售额之间具有较强的线性相关关系；③回归直线方程中的.
那么广告费用为千元时，则可预测销售额约为 万元.
16.在中，角的对边分别为，且满足，则角 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若等比数列的通项公式为，求的值及此时数列的前项和.
18. 年月某城市国际马拉松赛正式举行，组委会对名裁判人员进（年龄均在岁到岁）行业务培训，现按年龄（单位：岁）进行分组统计：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如下：
（1）若把这名裁判人员中年龄在称为青年组，其中男裁判名；年龄在的称为中年组，其中男裁判名.试完成列联表并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为裁判员属于不同的组别（青年组或中年组）与性别有关系？
（2）培训前组委会用分层抽样调查方式在第组共抽取了名裁判人员进行座谈，若将其中抽取的第组的人员记作，第组的人员记作，第组的人员记作，若组委会决定从上述名裁判人员中再随机选人参加新闻发布会，要求这组各选人，试求裁判人员不同时被选择的概率；
附：
19. 如图，在三棱锥中，底面为梯形，
，点在底面内的正投影为点，且为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求四棱锥的体积.
20. 已知圆的一条直径是椭圆的长轴，过椭圆上一点的动直线与圆相交于点，弦的最小值为.
（1）求圆及椭圆的方程；
（2） 已知点是椭圆上的任意一点，点是轴上的一定点，直线的方程为，若点到定直线的距离与到定点的距离之比为，求定点的坐标.
21. 已知函数（其中）.
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意的，关于的不等式恒成立，求的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴为非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆的普通方程与极坐标方程；
（2）若直线的极坐标方程为，求圆上的点到直线的最大距离.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于实数的不等式恒成立，求实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:ADCBD 6-10:BCCAB 11、12：DB
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）当时，
当时，
时，也符合，
（2）为等比数列，，即
，解得或
又时，不合题意，
此时，.
18.（1）各组频率分别为：，这人中，来自各组的分别有人，青年组有名，中年组名，列联表如下：
男
女
合计
青年组
中年组
合计
故不能“在犯错误的概率不超过的前提下认为裁判员属于不同的组别（青年组或中年组）与性别由关系”.
（2）由频率分布直方图可知：第组的裁判人员分别为人，人，人.
由分层抽样抽取人，则应从第组中分别抽取人.
抽取的第组的人员为，第组的人员为，第组的人员为，
分别从这三组各抽取一人有共种情况
其中“裁判人员同时被选中”有种情况，
故裁判人员不同时被选中的概率为.
19.解：（1），
由余弦定理得，，
故
又点在底面内的正投影为点，平面，又平面
，又平面，
（2）连接平面平面
又为的中点，
设，则
，即
，又
在等腰中，
梯形的面积为
.
20. 解：（1）当时，最小，因为，所以，
因为圆的一条直径是椭圆的长轴，所以
又点在椭圆上，所以，
所以圆的方程为，椭圆的方程为
（2）依题意设，则点到直线的距离，
点到点的距离为，故有，
即得：，
又点在椭圆上，则，因此有，
即对恒成立，
所以，即定点的坐标为，即为椭圆的右焦点.
21.解：（1）的定义域为
（i）若，则.由得或；由得
在上单调递增，在上单调递减；
（ii）若，则在上单调递增；
（iii）若，则，由得或；由得
在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知，（i）若，
当时，即时，在上单调递增，在上单调递减.
，故对不恒成立；
当时，即时，在上单调递增，
（ii）若在上单调递增，则，故；
综上所述，的取值范围为.
22.解：（1）圆的圆心为，半径，
则普通方程为，
其极坐标方程为，
即
（2）由得，
化为，即，
圆心到直线的距离为，
故圆上的点到直线的最大距离为.
23.解：（1）当时，
或或
解得：或即不等式解集为：；
（2）
恒成立，即或
解得：.
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