2017～2018学年新乡市高二上学期期末考试
数学试卷（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3.设为双曲线上一点，分别为左、右焦点，若，则（ ）
A．1 B．11 C．3或11 D．1或15
4.“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C.充要条件
D．既不充分也不必要条件
5.如图，在四面体中，分别是的中点，则（ ）
A．
B．
C.
D．
6.现有下面三个命题
常数数列既是等差数列也是等比数列；
，；
椭圆离心率可能比双曲线的离心率大.
下列命题中为假命题的是（ ）
A． B．
C. D．
7.长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，分别是四边形和正方形的中心，则向量与的夹角的余弦值是（ ）
A． B． C. D．
8.已知，则的最小值为（ ）
A．3 B．2 C.4 D．1
9.设为数列的前项和，，，则数列的前20项和为（ ）
A． B． C. D．
10.过点的直线与抛物线相交于两点，且，则点的横坐标为（ ）
A． B． C. D．
11.的内角所对的边分别为，已知，若的面积，则的周长为（ ）
A． B． C. D．
12.设双曲线的左、右焦点分别是，过的直线交双曲线的左支于两点，若，且，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上.
13.设等差数列的首项为-2，若，则的公差为 ．
14.在中，角的对边分别为，若，，且，则 ．
15.设满足约束条件，且目标函数的最大值为16，则 ．
16.设椭圆的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知等比数列的前项和为，，为等差数列，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18.在锐角中，.
（1）求角；
（2）若，，求的面积.
19.如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，且底面与侧面垂直，，分别为线段的中点，，，，且.
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
20.已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，且线段被直线平分.
（1）求的值；
（2）直线是抛物线的切线，为切点，且，求以为圆心且与相切的圆的标准方程.
21.如图，在各棱长均为4的直四棱柱中，底面为菱形，，为棱上一点，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
22.已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若直线的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为，的周长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线（直线斜率不为1）与椭圆交于两点，点在点的上方，若，求直线的斜率.
试卷答案
一、选择题
1-5:CDCAA 6-10:CBADB 11、12：DB
二、填空题
13.2 14.3 15.10 16.
三、解答题
17.解：（1）当时，，
当时，，即，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，即，
又，，所以.
（2）因为，
所以，①
，②
由①—②得，
所以.
18.解：（1）因为，
所以，
则，即，
由为锐角三角形得.
（2）在中，，，，即，
化简得，解得（负根舍去），
所以.
19.（1）证明：因为分别为线段的中点，，所以，，
又，所以平面平面，
因为平面，所以平面.
（2）解：因为底面与侧面垂直，且，所以底面.
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设是平面的法向量，则，即，
故可取.
设与平面所成角为，则，
故与平面所成角的正弦值为.
20.解：由题意可知，
设，，则.
（1）由，得，∴，即.
（2）设直线的方程为，代入，
得，
∵为抛物线的切线，∴，
解得，∴.
∵到直接的距离，
∴所求圆的标准方程为.
21.（1）证明：∵底面为菱形，∴.
在直四棱柱中，∴底面， ∴.
∵，∴平面，
又平面，∴平面平面.
（2）解：设与交于点，与交于点，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，
则，，，
设为平面的法向量，
则，
取，则.
取的中点，连接，则，
易证平面，从而平面的一个法向量为.
∴，
∴由图可知，二面角为锐角，二面角的余弦值为.
22.解：（1）因为的周长为，所以，即.
由直线的斜率为1，得，
因为，所以，.
所以椭圆的标准方程为.
（2）由题可得直线方程为，联立得，
所以.
因为，即，
所以.
当直线的斜率为0时，不符合题意，
故设直线的方程为，，，由点在点的上方，则.
联立，得，所以，
消去得，所以，得，，
又由画图可知不符合题意，所以.
故直线的斜率为.
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