吕梁市2017-2018学年度高三年级第一次模拟考试
文科数学
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,,则( )
A. B. C. D.
2.已知是虚数单位,复数的虚部为( )
A. 1 B. C. -1 D.
3.若,,且,则与的夹角为( )
A. B. C. D. 或
4. 的内角的对边分别为,已知,,,则( )
A. 3 B. 1 C.1或3 D.无解
5.如图为几何体的三视图,则其体积为( )
A. B. C. D.
6.函数在单调递增,且关于对称,若,则的的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 为双曲线右焦点,为双曲线上的点,四边形为
平行四边形,且四边形的面积为,则双曲线的离心率为( )
A.2 B. C. D.
8.已知变量满足,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9. 世界数学名题“问题”:任取一个自然数,如果它是偶数,我们就把它除以2,如果它是奇数,我们就把它乘3再加上1,在这样一个变换下,我们就得到了一个新的自然数,如果反复使用这个变换,我们就会得到一串自然数,猜想:反复进行上述运算后,最后结果为1,现根据此问题设计一个程序框图如下图,执行该程序框图,若输入的,则输出( )
A.5 B. 7 C. 8 D.9
10.函数的图像大致为( )
A. B.
C. D.
11.将函数的图像向左平移个单位,再向下平移1个单位,得到的图像,若,且,则的最大值为( )
A. B. C. D.
12. 已知点在同一个球的球面上,,,若四面体的体积为,球心恰好在棱上,则这个球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知,则 .
14.从圆内任意一点,则到直线的距离小于的概率为 .
15.已知函数满足且的导数,则不等式的解集为 .
16.已知抛物线的焦点为,点是抛物线上一点,以为圆心的圆与线段相交于点,且被直线截得的弦长为,若,则 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 已知是首项为1的等比数列,数列满足,,且
.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
18. 某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表,得到如图的频率分布直方图(图1).
(1)若直方图中后四组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5.0以下的人数;
(2)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系,对年级名次在1~50名和951~1000名的学生进行了调查,得到图2中数据,根据表中的数据,能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?
19. 在如图所示的多面体中,已知,,是正三角形,,,是的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面平面;
(3)求到平面的距离.
20. 已知椭圆过,且离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过右焦点的直线与椭圆交于两点,点坐标为,求直线的斜率之和.
21. 已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若恒成立,求的值.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),曲线.
(1)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,求的极坐标方程;
(2)射线与异于极点的交点为,与的交点为,求.
23.选修4-5:不等式选讲
已知函数,.
(1)若关于的不等式的解集为,求实数的值;
(2)若对于任意的恒成立,求实数的取值范围.
试卷答案
一、 1-5 BACCD 6-10 DBBCA 11-12 AD
4.【解析】由余弦定理得,即,所以或3.选C
5.【解析】几何体形状如图所示:是由半个圆柱和一个四棱锥的组合体,所以选D
6.【解析】.由为偶函数,所以,又 在单调递增,所以,即.选D
7.【解析】设,x0>0,y0>0.∵四边形为平行四边形,∴,∵四边形的面积为,∴,即,∴,代入双曲线方程得, ∵,∴.选B.
10.【解析】函数不是偶函数,可以排除C,D,又令得极值点为,所以排除B,选A
11. 【解析】由题意得,故,,
由,得,
由得
即,由,得
故当时最大,即,故选A.
12. 【解析】如图所示,设AC的中点为M,由已知AB⊥BC所以底面三角形ABC外接圆的圆心为M,所以OM⊥平面ABC,又OM//DC,所以DC⊥平面ABC,由四面体的体积为,得DC=2
所以DA=4,球的半径为2,由球的表面积公式得球的表面积为16π.选D
二、选择题
13. 2
14.
【解析】如图所示满足条件的点P构成阴影部分区域,由一个直角边为2的等腰直角三角形和两个圆心角为45°的扇形组成.这是一个几何概型,不难求得P到直线x+y=1的距离小于的概率为.
15.{x|x>1或x1或x)在抛物线上,则8=2p2,解得:p=2,
∴|AF|===1.
三.解答题
17.解:(Ⅰ)把代入已知等式得,
所以
所以是首项为1,公比为3的等比数列,
即
(Ⅱ)由已知得,
所以是首项为2公差为3的等差数列,
其通项公式为
18.解(Ⅰ)由图可知,第一组有3人,第二组7人,第三组27人,
设后四组的频数构成的等差数列的公差为d,
则(27-d)+(27-2d)+(27-3d)=63,解得d=3
所以后四组频数依次为
所以视力在5.0以下的频率为3+7+27+24+21=82人,
故全年级视力在5.0以下的人数约为1000×=820(人)
(Ⅱ)
因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.
19. 解:(Ⅰ)取的中点,连接,因为的中点,
所以,又AB,
所以,四边形为平行四边形,
所以MB//AF,
因为平面,平面,
所以平面
(Ⅱ)因为是正三角形,所以,
在中,,
所以,故,
∴DE⊥AC,又DE⊥AD,AC∩AD=A
∴DE⊥平面ACD
∴DE⊥AF,又AF⊥CD,由(Ⅰ)得BM∥AF
∴DE⊥BM, BM⊥CD,DE∩CD=D
∴BM⊥平面CDE,BM平面BCE
∴平面BCE⊥平面CDE
(Ⅲ)连接DM,由于DE=DC
∴DM⊥CE
由(Ⅱ)知,平面BCE⊥平面CDE,
∴DM⊥平面BCE
所以DM为D到平面BCE的距离,DM=
所以D到平面BCE的距离为
20.(Ⅰ)解:由已知得
解之得,a=2,b=,c=1
所以椭圆方程为
(Ⅱ)设,由(1)得,设直线的方程为与椭圆联立得 消去x得,
所以
所以
当直线斜率不存在时,A(1, -),B(1, ),
所以的斜率之和为2
21.解:(Ⅰ)函数的定义域为
由得,
当时,;当时,.
所以在单调递减,在单调递增
(Ⅱ)由(Ⅰ)得在时有极小值,也就是最小值.
所以
即也就是
设,
由得,.
当时,;当时,.
所以在单调递增,在单调递减.
所以的最大值为.
所以又,所以即
22.解:(Ⅰ)曲线:(为参数)化为普通方程为,
所以曲线的极坐标方程为,
曲线的极坐标方程为.
(Ⅱ)射线与曲线的交点的极径为,
射线与曲线的交点的极径满足,
解得,
所以
23.解:(Ⅰ)由,可得,
所以,
由题意得,
所以.
(Ⅱ)若恒成立,则有恒成立,
因为,
当且仅当时取等号,
所以