山东省烟台市2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题Word版含答案.doc

‎2017-2018学年度第一学期高二期末自主练习 理科数学 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若命题：，，则为（ ）‎ A．不存在， B． ， ‎ C．， D．，‎ ‎2.设命题：若，则；命题：，，则下列命题中假命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.有下列四个命题：‎ ‎①若平面外一条直线与平面内一条直线平行，则平行于平面；‎ ‎②“全等三角形的面积相等”的逆命题；‎ ‎③“若，则”的否命题；‎ ‎④已知为实数，“若中至少有一个不为0，则”的逆否命题.‎ 所有真命题序号为（ ）‎ A．①② B．②③ C．①③ D． ①④‎ ‎4.已知空间四边形中，，，，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.在空间直角坐标系中，，，向量，若，则（ ）‎ A． 4 B．‎2 C. -4 D．-2‎ ‎6.已知为抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，点的坐标为，则的最小值为（ ）‎ A．5 B． ‎6 C. 7 D．8‎ ‎7.已知双曲线过点，渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.设椭圆和双曲线的公共焦点为，为这两条曲线的一个交点，则的值为（ ）‎ A． 3 B． C. D．‎ ‎9.已知点在曲线上移动，则点与点的中点的轨迹方程是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.二面角的大小为，是棱上的两点，分别在半平面内，，，，，，则的长度为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知，则“”是“”的（ ）‎ A．充分必要条件 B．充分不必要条件 ‎ C.必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎12.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，直线分别与抛物线交于点，设直线与的斜率分别为，则（ ）‎ A． 1 B． ‎2 C. 3 D．4‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知向量，，若，则 ．‎ ‎14.若命题：“”为假命题，则实数的取值范围是 ．‎ ‎15.已知椭圆的右焦点在圆外，过作圆的切线交轴于点，切点为，若，则椭圆的离心率为 ．‎ ‎16.长方体中，，，，分别是的中点，是上的点，，若平面与平面的交线为，则与所成角的余弦值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 平面直角坐标系中，动点在轴右侧，且到的距离比到轴的距离大1.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若过点且倾斜角为的直线与曲线相较于两点，求线段的长.‎ ‎18. 设：实数满足，其中；：实数使得方程表示双曲线.‎ ‎（1）当时，若“”为真命题，求的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎19. 如图，正方形所在平面与三角形所在平面互相垂直，且，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，，求直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎20. 如图，在多面体中，四边形为直角梯形，，，，，四边形为矩形.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，确定点的位置并加以证明.‎ ‎21. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，坐标原点到直线的距离为，该椭圆的离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设椭圆的右顶点为，若平行于的直线与椭圆相交于顶点的两点，探究直线，的倾斜角之和是否为定值？若是，求出定值；若否，说明理由.‎ ‎22.设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为坐标原点，为椭圆的离心率. ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎2017-2018学年度第一学期高二期末自主练习 理科数学参考答案 一、选择题：‎ CDDBC BBACB AC 二、填空题：‎ ‎13． 14． 15． 16．‎ 三、解答题：‎ ‎17.解:（1）设动点，点到轴的距离为，‎ 由题意. ‎ 将点的坐标代入上式，得，‎ 整理得. ‎ ‎ (2) 直线的方程为 ， ‎ 联立，得，‎ 设，则，， ‎ 所以 ‎ ‎. ‎ ‎18.解:（1）当时，‎ 由，解得, ‎ 由 ，解得. ‎ 因为“”为真，.‎ ‎∴实数的值取值范围是. ‎ ‎（2）是的充分不必要条件等价于若是的充分不必要条件， ‎ 由（1）知，条件对应的集合为：.‎ 记满足条件的实数的集合为 由题意. ‎ 当时，，满足；‎ 当时，，满足；‎ 当时，，要使，只需或，‎ 所以或. ‎ 综上实数的取值范围为：或. ‎ ‎19.解：（1）在上取一点，使,连接.‎ 由已知,在中，，‎ 所以且. ‎ 又在正方形中，，‎ 所以且.‎ 所以且.‎ 所以，四边形为平行四边形.‎ 所以. ‎ 又平面，平面平面. ‎ ‎（2）以为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴，以过垂直于的直线为轴，建 立如图所示的空间直角坐标系. ‎ 设，则,,，,,,‎ 所以,,. ‎ 设平面的一个法向量，则，即，‎ 不妨令，得， ‎ 设直线与平面所成的角为，则 ‎. ‎ 所以直线与平面所成的角正弦值为. ‎ ‎20.解：（1）证明：由平面几何的知识，易得，，‎ 又，所以在中，满足，所以为直角三角形，且. ‎ 因为四边形为矩形，‎ 所以. ‎ 由，，，‎ 可得 . ‎ 又，‎ 所以平面平面. ‎ ‎（2）存在点，使得二面角为大小为，点为线段的中点.‎ 事实上，以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， ‎ 则,， ‎ 设,由，‎ 即，得. ‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，即，‎ 不妨设，取. ‎ 平面的一个法向量为. ‎ 二面角为大小为 于是. ‎ 解得 或（舍去）. ‎ 所以当点为线段的中点时，二面角为大小为. ‎ ‎21.解:（1）由题意知：， ‎ ‎ . ‎ ‎（2）因为，所以，‎ 设直线：，代入，得，‎ 由，得.‎ 设，则，. ‎ 设直线的倾斜角分别为，‎ 则 将，代入，得.‎ ‎， ‎ ‎， .‎ 即直线的倾斜角之和为定值. ‎ ‎22.解:（1）由题意知：， ‎ 又因为，，解得 故椭圆的方程为． ‎ ‎（2）椭圆上不存在这样的点.事实上，设直线的方程为,‎ 联立，得,‎ ‎，得. ‎ 设，则，. ‎ 由知为平行四边形,而为的中点,也是的中点. ‎ 于是设,,则,‎ 即 ，可得. ‎ 因为,所以. ‎ 若在椭圆上，则，矛盾.‎ 因此,不存在满足条件的点． ‎