2017～2018学年度第一学期期末考试
高三文科数学试题
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2.已知，则复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知变量和的统计数据如下表：
根据上表可得回归直线方程，据此可以预报当时，（ ）
A．8.9 B．8.6 C．8.2 D．8.1
4.若满足，，，则（ ）
A． B． C. D．
5.已知等差数列的前项和为，若，，则的公差为（ ）
A．1 B．2 C.3 D．4
6.若满足不等式组，则的最大值为（ ）
A．8 B．6 C.4 D．2
7.将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，则（ ）
A． B． C. D．
8.已知是两个平面，是两条直线，则下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C.若，则 D．若，则
9.已知等边（为坐标原点）的三个顶点在抛物线上，且的面积为，则（ ）
A． B．3 C. D．
10.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知，下列程序框图设计的是求的值，在处应填的执行语句是( )
A. B. C. D.
11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
12.已知，若方程有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C. D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，，，且，则在上的投影为 ．
14.已知等比数列中，，，则的前6项和为 ．
15.已知，，则 ．
16.已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.在中，内角所对的边分别为，已知.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若的面积，且，求.
18.以“你我中国梦，全民建小康”为主题、“社会主义核心价值观”为主线，为了了解两个地区的观众对2018年韩国平昌冬奥会准备工作的满意程度，对地区的100名观众进行统计，统计结果如下：
在被调查的全体观众中随机抽取1名“非常满意”的人是地区的概率为0.45，且.
（Ⅰ）现从100名观众中用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取“满意”的地区的人数各是多少？
（Ⅱ）在（Ⅰ）抽取的“满意”的观众中，随机选出3人进行座谈，求至少有两名是地区观众的概率？
（Ⅲ）完成上述表格，并根据表格判断是否有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系？
附： ，.
19.如图所示，在四棱锥中，，都是等边三角形，平面平面，且，.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）是上一点，当平面时，三棱锥的体积.
20.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆内一点的直线的斜率为，且与椭圆交于两点，设直线，（为坐标原点）的斜率分别为，若对任意，存在实数，使得，求实数的取值范围.
21.已知函数.
（Ⅰ）试判断1是的极大值点还是极小值点，并说明理由；
（Ⅱ）设是函数的导函数，求证：.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线和曲线的直角坐标方程，并指明曲线的形状；
（2）设直线与曲线交于两点，为坐标原点，且，求.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数
（1）若不等式恒成立，求的取值范围;
（2）求不等式的解集.
试卷答案
一、选择题
1-5:CDDAB 6-10:ADDCB 11、12：AB
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（Ⅰ）因为，所以由，
即，由正弦定理得，
即，∵，
∴，即，
∵，∴，∴，∵，∴.
（Ⅱ）∵，∴，
∵，，
∴，即，
∴.
18.解：（Ⅰ）由题意，得，所以，所以，
因为，所以，，
则应抽取地区的“满意”观众，抽取地区的“满意”观众.
（Ⅱ）所抽取的地区的“满意”观众记为，所抽取的地区的“满意”观众记为1,2，
则随机选出三人的不同选法有，，，共10个结果，
至少有两名是地区的结果有7个，其概率为.
（Ⅲ）
由表格得，
所以没有理由认为观众的满意程度是否与所在地区有关系.
19.解：（Ⅰ）因为，，，
所以，所以，，
又因为是等边三角形，所以，所以，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以平面.
（Ⅱ）过点作交于，过点作交于，
因为，平面，平面，所以平面，
同理可得平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面.
因为，所以，在直角三角形中，，，
所以，所以，
在平面内过作于，
因为平面，平面，所以，
因为，所以平面，所以是点到平面的距离，
过点作于，则，
由，得，所以，
因为，所以.
20.解：（Ⅰ）椭圆的离心率，所以，
又点在椭圆上，所以，解得，，
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）设直线的方程为.
由，消元可得，
设，，则，，
而，由，得，
因为此等式对任意的都成立，所以，即.
由题意得点在椭圆内，故，即，解得.
21.解：（Ⅰ）的定义域为，
因为，所以.
当时，，，所以，故在上单调递增；
当时，，，所以，故在上单调递减；
所以1是函数的极小值.
（Ⅱ）由题意可知，，
，，令，，
则，故在上单调递增.
又，，
所以，使得，即，所以，
，随的变化情况如下：
所以，
由式得，代入上式得
，
令，，则，
故在上单调递减，所以，
又，所以，即，所以.
22.解：（1）由消去参数，得，
由，得，
所以曲线的直角坐标方程为，
即.
即曲线是圆心为，半径的圆.
（2）联立直线与曲线的方程，得，消去，得，
设对应的极径分别为，，则，，
所以.
23.解：（1）因为，
所以由恒成立得，
即或
所以或.
（2）不等式等价于
或，
.
图像如下：
由图知解集为或.
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