江苏省常州市2018届高三上学期期末考试数学（理）试题Word版含答案.doc

常州市教育学会学业水平监测 高三数学Ⅰ试题 参考公式：‎ 圆锥的体积公式：，其中是圆锥的底面积，是高.‎ 样本数据，，，的方差，其中.‎ 一、选择题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1.若集合，，则集合 ▲ .‎ ‎2命题“，”是 ▲ 命题（选填“真”或“假”）.‎ ‎3.若复数满足（其中为虚数单位），则 ▲ .‎ ‎4.若一组样本数据，，，，的平均数为，则该组样本数据的方差为 ‎5.如图是一个算法的流程图，则输出的的值是 ▲ .‎ ‎6.函数的定义域记作集合，随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数，，，），记骰子向上的点数为，则事件“”的概率为 ▲ .‎ ‎7.已知圆锥的高为，体积为，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是，则该圆台的高为 ▲ .‎ ‎8.各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值为 ▲ .‎ ‎9.在平面直角坐标系中，设直线：与双曲线：的两条渐近线都相交且交点都在轴左侧，则双曲线的离心率的取值范围是 ▲ .‎ ‎10.已知实数，满足则的取值范围是 ▲ .‎ ‎11.已知函数，其中，若过原点且斜率为的直线与曲线相切，则的值为 ▲ .‎ ‎12.如图，在平面直角坐标系中，函数的图像与轴的交点，，满足，则 ▲ .‎ ‎13.在中，， ，，为内一点（含边界），若满足，则的取值范围为 ▲ ．‎ ‎14.已知中，，所在平面内存在点使得，则面积的最大值为 ▲ ．‎ 二、解答题 ：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎15.已知中，，，分别为三个内角，，的对边，，‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求的值. ‎ ‎16.如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面，，点是棱上异于、的一点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）过点和的平面截四棱锥得到截面（点在棱上），求证：. ‎ ‎17.已知小明（如图中所示）身高米，路灯高米，，均垂直于水平地面，分别与地面交于点，.点光源从发出，小明在地上的影子记作.‎ ‎（1）小明沿着圆心为，半径为米的圆周在地面上走一圈，求扫过的图形面积；‎ ‎（2）若米，小明从出发，以米/秒的速度沿线段走到，，且米.秒时，小明在地面上的影子长度记为（单位:米），求的表达式与最小值.‎ ‎18.如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为，点是椭圆的左顶点，过原点的直线与椭圆交于，两点（在第三象限），与椭圆的右准线交于点.已知，且.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若，求椭圆的标准方程. ‎ ‎19.已知各项均为正数的无穷数列的前项和为，且满足（其中为常数），.数列满足.‎ ‎（1）证明数列是等差数列，并求出的通项公式；‎ ‎（2）若无穷等比数列满足：对任意的，数列中总存在两个不同的项，使得，求的公比. ‎ ‎20.已知函数，其中为常数.‎ ‎（1）若，求函数的极值；‎ ‎（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若，设函数在上的极值点为，求证：.‎ 常州市教育学会学业水平监测 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21.【选做题】在A、B、C、D四小题只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ A.选修4-1：几何证明选讲 在中，是边上一点，且，与的外接圆相切，求 的值.‎ B.选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵不存在逆矩阵，求：‎ ‎（1）实数的值；（2）矩阵的特征向量.‎ C.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为，直线与曲线交于，两点，求的长.‎ D.选修4-5：不等式选讲 已知，，求证:.‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎22.已知正四棱锥的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量的值：‎ 若这两条棱所在的直线相交，则的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）；‎ 若这两条棱所在的直线平行，则；‎ 若这两条棱所在的直线异面，则的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制).‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求随机变量的分布列及数学期望.‎ ‎23.记（且）的展开式中含项的系数为，含项的系数为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，对成立，求实数的值；‎ ‎（3）对（2）中的实数用数字归纳法证明：对任意且，都成立.‎ 常州市教育学会学业水平监测 高三数学参考答案 一、填空题 ‎1. 2.真 3.‎ ‎4. 5. 6.‎ ‎7. 8. 9. ‎ ‎10. 11. 12. ‎ ‎13. 14.‎ 二、解答题 ‎15.解：（1）由正弦定理得， ‎ 中，，所以，所以，，‎ ‎，所以；‎ ‎（2）因为，由正弦定理得，‎ 所以，.‎ ‎16.（1）证明：平面，平面，所以，记，交于点，平行四边形对角线互相平分，则为的中点，又中，，‎ 所以，‎ 又，， 平面，所以平面，又平面 所以；‎ ‎（2）四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，‎ 又平面，平面平面，所以，又，所以.‎ ‎17.解：（1）由题意，则，，所以，‎ 小明在地面上的身影扫过的图形是圆环，其面积为（平方米）；‎ ‎（2）经过秒，小明走到了处，身影为，由(1)知，所以 ‎.‎ 化简得，，，当时，的最小值为.‎ 答：，，当（秒）时，的最小值为（米）.‎ ‎18.解：（1）由题意，消去得，解得，‎ 所以， ，，所以；‎ ‎（2）由（1），右准线方程为，‎ 直线的方程为，所以，‎ ‎，‎ 所以，，所以，‎ 椭圆的标准方程为.‎ ‎19.解：（1）方法一：因为①，‎ 所以②，‎ 由②-①得，，‎ 即，又，‎ 则，即.‎ 在中令得，，即.‎ 综上，对任意，都有，‎ 故数列是以为公差的等差数列.‎ 又，则.‎ 方法二：因为，所以，又，‎ 则数列是以为首项，为公差的等差数列，‎ 因此，即.‎ 当时，，又也符合上式，‎ 故.‎ 故对任意，都有，即数列是以为公差的等差数列.‎ ‎（2）令，则数列是递减数列，所以.‎ 考察函数，因为，所以在上递增，因此，从而.‎ 因为对任意，总存在数列中的两个不同项，，使得，所以对任意的都有，明显.‎ 若，当时，‎ 有，不符合题意，舍去；‎ 若，当时，‎ 有，不符合题意，舍去；‎ 故.‎ ‎20.解：（1）当时，，定义域为，‎ ‎，令，得.‎ 极大值 当时，的极大值为，无极小值.‎ ‎（2），由题意对恒成立.‎ ‎，，‎ 对恒成立，‎ 对恒成立.‎ 令，，则，‎ ‎①若，即，则对恒成立，‎ 在上单调递减，‎ 则，，与矛盾，舍去；‎ ‎②若，即，令，得，‎ 当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增，‎ 当时，，‎ ‎.综上.‎ ‎（3）当时，，，‎ 令，，‎ 则，令，得，‎ ‎①当时，，单调递减，，‎ 恒成立，单调递减，且.‎ ‎②当时，，单调递增，‎ 又，‎ 存在唯一，使得，，‎ 当时，，单调递增，‎ 当时，，单调递减，且，‎ 由①和②可知，在单调递增，在上单调递减，‎ 当时，取极大值.‎ ‎，，‎ ‎，‎ 又，，.‎ 常州市教育学会学业水平监测 高三数学Ⅱ（附加题）参考答案 ‎21.A.解：记外接圆为，、分别是圆的切线和割线，所以，‎ 又，所以与相似，所以，所以 ‎，.‎ B.解：（1）由题意，即，解得；‎ ‎（2），即，所以，解得，‎ 时，，，属于的一个特征向量为；‎ 时，，，属于的一个特征向量为.‎ C.解：曲线：，直线：，圆心到直线的距离为 ‎，所以弦长.‎ D.证明：，，不妨设，则，，由排序不等式得，‎ 所以.‎ ‎22.解：根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，容易得到，为等腰直角三角形，的可能取值为：，，，共种情况，其中：时，有种；时，有种；时，有种；‎ ‎（1）；‎ ‎（2），，‎ 根据（1）的结论，随机变量的分布列如下表：‎ 根据上表，. ‎ ‎23.解：（1）.‎ ‎（2），，，‎ 则 解得，，，‎ ‎（3）①当时，由（2）知等式成立；‎ ‎②假设（，且）时，等式成立，即； ‎ 当时，由 ‎ ‎ 知，‎ 所以，‎ 又，等式也成立；‎ 综上可得，对任意且，都有成立.‎