2019年安徽省合肥市十校联考中考数学一模试卷
一.选择题(共10小题,满分40分,每小题4分)
1.a,b是有理数,它们在数轴上的对应点的位置如图所示,把a,﹣a,b,﹣b按照从小到大的顺序排列( )
A.﹣b<﹣a<a<b B.﹣a<﹣b<a<b C.﹣b<a<﹣a<b D.﹣b<b<﹣a<a
2.2018年10月24日港珠澳大桥全线通车,港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛,向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛,止于珠海洪湾,它是世界上最长的跨海大桥,被称为“新世界七大奇迹之一”,港珠澳大桥总长度55000米,则数据55000用科学记数法表示为( )
A.55×105 B.5.5×104 C.0.55×105 D.5.5×105
3.下列运算正确的是( )
A.6x3﹣5x2=x B.(﹣2a)2=﹣2a2
C.(a﹣b)2=a2﹣b2 D.﹣2(a﹣1)=﹣2a+2
4.如图,直线l∥m∥n,等边△ABC的顶点B、C分别在直线n和m上,边BC与直线n所夹的角为25°,则∠α的度数为( )
A.25° B.45° C.35° D.30°
5.如图,由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形,它的左视图是( )
A. B. C. D.
6.在一次中学生田径运动会上,参加跳远的15名运动员的成绩如下表所示
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成绩(米)
4.50
4.60
4.65
4.70
4.75
4.80
人数
2
3
2
3
4
1
则这些运动员成绩的中位数、众数分别是( )
A.4.65、4.70 B.4.65、4.75 C.4.70、4.75 D.4.70、4.70
7.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,根据图象信息,下列结论错误的是( )
A.abc<0 B.2a+b=0 C.4a﹣2b+c>0 D.9a+3b+c=0
8.如图,边长为1的小正方形网格中,⊙O的圆心在格点上,则sin∠EDB的值是( )
A. B. C. D.
9.如图,直线l1⊥x轴于点(1,0),直线l2⊥x轴于点(2,0),直线l3⊥x轴于点(3,0),……直线ln⊥x轴于点(n,0).函数y=x的图象与直线l1、l2、l3、…、ln分别交于点A1、A2、A3、…、An;函数y=2x的图象与直线l1、l2、l3、…、ln分别交于点B1、B2、B3、…、Bn.如果△OA1B1的面积记作S1,四边形A1A2B2B1的面积记作S2,四边形A2A3B3B2的面积记作S3,…,四边形An﹣1AnBnBn﹣1的面积记作Sn,那么S2018=( )
A.2017.5 B.2018 C.2018.5 D.2019
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10.如图,AD为等边△ABC的高,E、F分别为线段AD、AC上的动点,且AE=CF,当BF+CE取得最小值时,∠AFB=( )
A.112.5° B.105° C.90° D.82.5°
二.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)
11.把多项式3mx﹣6my分解因式的结果是 .
12.不等式组的所有整数解的积为 .
13.如图,一次函数y=k1x+b的图象过点A(0,3),且与反比例函数y=的图象相交于B、C两点.若AB=BC,则k1•k2的值为 .
14.如图,在△ABC中,DE∥BC,=,则= .
三.解答题(共2小题,满分16分,每小题8分)
15.用适当的方法解方程:
(1)(x+1)(x﹣2)=x+1;
(2)(2x﹣5)2﹣(x﹣2)2=0.
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16.某一天,水果经营户老张用1600元从水果批发市场批发猕猴桃和芒果共50千克,后再到水果市场去卖,已知猕猴桃和芒果当天的批发价和零售价如表所示:
品名
猕猴桃
芒果
批发价(元/千克)
20
40
零售价(元/千克)
26
50
(1)他购进的猕猴桃和芒果各多少千克?
(2)如果猕猴桃和芒果全部卖完,他能赚多少钱?
四.解答题(共2小题,满分16分,每小题8分)
17.有这样一个题目:
按照给定的计算程序,确定使代数式n(n+2)大于2000的n的最小正整数值.想一想,怎样迅速找到这个n值,请与同学们交流你的体会.
小亮尝试计算了几组n和n(n+2)的对应值如下表:
n
50
40
n(n+2)
2600
1680
(1)请你继续小亮的尝试,再算几组填在上表中(几组随意,自己画格),并写出满足题目要求的n的值;
(2)结合上述过程,对于“怎样迅速找到n值”这个问题,说说你的想法.
18.如图,已知O是坐标原点,B、C两点的坐标分别为(3,﹣1)、(2,1).
(1)以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2),画出图形;
(2)分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标;
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(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x,y),写出M的对应点M′的坐标.
五.解答题(共2小题,满分20分,每小题10分)
19.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,EF垂直平分AD交AB于E,交AC于F.
求证:四边形AEDF是菱形.
20.如图,大海中有A和B两个岛屿,为测量它们之间的距离,在海岸线PQ上点E处测得∠AEP=60°,∠BEQ=45°;在点F处测得∠AFP=45°,∠BFQ=90°,EF=2km.
(1)判断AB、AE的数量关系,并说明理由;
(2)求两个岛屿A和B之间的距离(结果保留根号).
六.解答题(共1小题,满分12分,每小题12分)
21.抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况,从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试,测试结果分为A,B,C,D四个等级.请根据两幅统计图中的信息回答下列问题:
(1)本次抽样调查共抽取了多少名学生?
(2)求测试结果为C等级的学生数,并补全条形图;
(3)若该中学八年级共有700名学生,请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名?
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(4)若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生,做为该校培养运动员的重点对象,请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率.
七.解答题(共1小题,满分12分,每小题12分)
22.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(1,0)、C(﹣2,3)两点,与y轴交于点N,其顶点为D.
(1)求抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标;
(3)在对称轴上是否存在一点M,使△ANM的周长最小.若存在,请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值;若不存在,请说明理由.
八.解答题(共1小题,满分14分,每小题14分)
23.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,点D在边AC上,连接BD,过A作BD的垂线交BD的延长线于点E.
(1)若M,N分别为线段AB,EC的中点,如图1,求证:MN⊥EC;
(2)如图2,过点C作CF⊥EC交BD于点F,求证:AE=2BF;
(3)如图3,以AE为一边作一个角等于∠BAC,这个角的另一边与BE的延长线交于P点,O为BP的中点,连接OC,求证:OC=(BE﹣PE).
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2019年安徽省合肥市十校联考中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题,满分40分,每小题4分)
1.【分析】利用有理数大小的比较方法可得﹣a<b,﹣b<a,b>0>a进而求解.
【解答】解:观察数轴可知:b>0>a,且b的绝对值大于a的绝对值.
在b和﹣a两个正数中,﹣a<b;在a和﹣b两个负数中,绝对值大的反而小,则﹣b<a.
因此,﹣b<a<﹣a<b.
故选:C.
【点评】有理数大小的比较方法:正数大于0;负数小于0;正数大于一切负数;两个负数,绝对值大的反而小.
2.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:将数据55000用科学记数法表示为5.5×104.
故选:B.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
3.【分析】A、原式不能合并,错误;
B、原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算得到结果,即可做出判断;
C、原式利用完全平方公式化简得到结果,即可做出判断;
D、原式去括号得到结果,即可做出判断.
【解答】解:A、原式不能合并,错误;
B、原式=4a2,错误;
C、原式=a2+b2﹣2ab,错误;
D、原式=﹣2a+2,正确,
故选:D.
【点评】此题考查了完全平方公式,合并同类项,去括号与添括号,幂的乘方与积的乘方,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
4.【分析】根据两直线平行,内错角相等求出∠1,再根据等边三角形的性质求出∠
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2,然后根据两直线平行,同位角相等可得∠α=∠2.
【解答】解:如图,∵m∥n,
∴∠1=25°,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∴∠2=60°﹣25°=35°,
∵l∥m,
∴∠α=∠2=35°.
故选:C.
【点评】本题考查了平行线的性质,等边三角形的性质,熟记性质是解题的关键,利用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观.
5.【分析】找到从左面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在左视图中.
【解答】解:从左面看易得第一层有2个正方形,第二层最左边有一个正方形.
故选:B.
【点评】本题考查了三视图的知识,左视图是从物体的左面看得到的视图.
6.【分析】根据中位数、众数的定义即可解决问题.
【解答】解:这些运动员成绩的中位数、众数分别是4.70,4.75.
故选:C.
【点评】本题考查中位数、众数的定义,解题的关键是记住中位数、众数的定义,属于中考基础题.
7.【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.
【解答】解:(A)由图象可知:a<0,c>0,
对称轴x=>0,
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∴b>0,
∴abc<0,故A正确;
(B)由对称轴可知:=1,
∴2a+b=0,故正确;
(C)当x=﹣2时,y<0,
∴4a﹣2b+c<0,故C错误;
(D)(﹣1,0)与(3,0)关于直线x=1对称,
∴9a+3b+c=0,故D正确;
故选:C.
【点评】本题考查二次函数,解题的关键熟练运用二次函数的图象与性质,本题属于中等题型.
8.【分析】由于所求的∠EDB是圆周角,因此可将其转化到另外一个圆周角来求解,设圆O与小正方形网格的另外一个切点为F,连接EF、BF、BE,因此∠EDB=∠EFB=45°,所以sin∠EDB=.
【解答】解:设圆O与小正方形网格的另一个切点为F,连接BF、BE,
∵,
∴∠EDB=∠EFB,
由题意知:EB=BF,
∴∠EFB=45°,
∴sin∠EDB=sin∠EFB=,
故选:B.
【点评】本题考查圆周角定理的应用,如若条件出现的角是圆周角,可考虑圆周角定理将其转移到适合的位置进行求解.
9.【分析】根据直线解析式求出An﹣1Bn﹣1,AnBn的值,再根据直线ln﹣1与直线ln互相平行并判断出四边形An﹣1AnBnBn﹣1是梯形,然后根据梯形的面积公式求出Sn的表达式,然后把n
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=2013代入表达式进行计算即可得解.
【解答】解:根据题意,An﹣1Bn﹣1=2(n﹣1)﹣(n﹣1)=2n﹣2﹣n+1=n﹣1,
AnBn=2n﹣n=n,
∵直线ln﹣1⊥x轴于点(n﹣1,0),直线ln⊥x轴于点(n,0),
∴An﹣1Bn﹣1∥AnBn,且ln﹣1与ln间的距离为1,
∴四边形An﹣1AnBnBn﹣1是梯形,
Sn=(n﹣1+n)×1=(2n﹣1),
当n=2018时,S2018=(2×2018﹣1)=2017.5.
故选:A.
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点,读懂题意,根据直线解析式求出An﹣1Bn﹣1,AnBn的值是解题的关键,要注意脚码的对应关系,这也是本题最容易出错的地方.
10.【分析】如图,作辅助线,构建全等三角形,证明△AEC≌△CFH,得CE=FH,将CE转化为FH,与BF在同一个三角形中,根据两点之间线段最短,确定点F的位置,即F为AC与BH的交点时,BF+CE的值最小,求出此时∠AFB=105°.
【解答】解:如图,作CH⊥BC,且CH=BC,连接BH交AD于M,连接FH,
∵△ABC是等边三角形,AD⊥BC,
∴AC=BC,∠DAC=30°,
∴AC=CH,
∵∠BCH=90°,∠ACB=60°,
∴∠ACH=90°﹣60°=30°,
∴∠DAC=∠ACH=30°,
∵AE=CF,
∴△AEC≌△CFH,
∴CE=FH,BF+CE=BF+FH,
∴当F为AC与BH的交点时,如图2,BF+CE的值最小,
此时∠FBC=45°,∠FCB=60°,
∴∠AFB=105°,
故选:B.
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【点评】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题,关键是作出辅助线,当BF+CE取得最小值时确定点F的位置,有难度.
二.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)
11.【分析】直接提取公因式3m,进而分解因式即可.
【解答】解:3mx﹣6my=3m(x﹣2y).
故答案为:3m(x﹣2y).
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键.
12.【分析】先分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集,在其公共解集内找出符合条件的x的所有整数解相乘即可求解.
【解答】解:,
解不等式①得:x≥﹣,
解不等式②得:x≤50,
∴不等式组的解集为﹣≤x≤50,
∴不等式组的整数解为﹣1,0,1…50,
所以所有整数解的积为0,
故答案为:0.
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【点评】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的整数解,求不等式的公共解,要遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.
13.【分析】设一次函数的解析式为y=k1x+3,反比例函数解析式y=,都经过B点,得等式k1x+3x﹣k2=0,得到再由AB=BC,点C的横坐标是点B横坐标的2倍,不防设x2=2x1,列出x1,x2关系等式,据此可以求出k1•k2的值.
【解答】解:k1•k2=﹣2,是定值.理由如下:
∵一次函数y=k1x+b的图象过点A(0,3),
∴设一次函数的解析式为y=k1x+3,反比例函数解析式y=,
∴k1x+3=,
整理得k1x2+3x﹣k2=0,
∴x1+x2=﹣,x1x2=﹣,
∵AB=BC,
∴点C的横坐标是点B横坐标的2倍,不防设x2=2x1,
∴x1+x2=3x1=﹣,x1x2=2x12=﹣,
∴﹣=(﹣)2,
整理得,k1k2=﹣2,是定值.
故答案为﹣2.
【点评】本题主要考查反比例函数的综合题的知识点,解答本题的关键是运用好AB=BC这一条件,此题有一定的难度,需要同学们细心领会.
14.【分析】由DE∥BC可得出∠ADE=∠B,∠AED=∠C,进而可得出△ADE∽△ABC,利用相似三角形的性质可得出=,进而可得出=,此题得解.
【解答】解:∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,
∴△ADE∽△ABC,
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∴=()2=()=,
∴===.
故答案为:.
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.
三.解答题(共2小题,满分16分,每小题8分)
15.【分析】(1)利用因式分解法求解可得;
(2)利用因式分解法求解可得.
【解答】解:(1)∵(x+1)(x﹣2)﹣(x+1)=0,
则(x+1)(x﹣3)=0,
∴x+1=0或x﹣3=0,
解得:x1=﹣1,x2=3;
(2)∵[(2x﹣5)+(x﹣2)][(2x﹣5)﹣(x﹣2)]=0,
∴(3x﹣7)(x﹣3)=0,
则3x﹣7=0或x﹣3=0,
解得:x1=,x2=3.
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.
16.【分析】(1)设购进猕猴桃x千克,购进芒果y千克,由总价=单价×数量结合老张用1600元从水果批发市场批发猕猴桃和芒果共50千克,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)根据利润=销售收入﹣成本,即可求出结论.
【解答】解:(1)设购进猕猴桃x千克,购进芒果y千克,
根据题意得:,
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解得:.
答:购进猕猴桃20千克,购进芒果30千克.
(2)26×20+50×30﹣1600=420(元).
答:如果猕猴桃和芒果全部卖完,他能赚420元钱.
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据数量关系,列式计算.
四.解答题(共2小题,满分16分,每小题8分)
17.【分析】(1)取n=44与n=43,分别计算n(n+2),即可完成表格,从而确定满足题目要求的n的值;
(2)根据表格中给出的n=50与n=40时n(n+2)的对应值,将它们与2000比较,得出n<45,取n=44计算,根据此时n(n+2)>2000,再取n=43计算,根据43×45=1935<2000,即可求出n的值.
【解答】解:(1)填表如下:
n
50
40
44
43
n(n+2)
2600
1680
2024
1935
由上表可得,满足条件的n值为44;
(2)由于n与(n+2)是连续的两个偶数,确定使代数式n(n+2)大于2000的n的最小正整数值,因为50×52=2600,40×42=1680,2600﹣2000=600>2000﹣1680=320,所以n<45,取n=44计算,发现44×46=2024>2000,再取n=43计算,由于43×45=1935<2000,从而确定满足条件的n值为44.
【点评】本题考查了规律型:数字的变化类,理解题意,根据表格得出n<45是解题的关键.
18.【分析】(1)延长BO,CO到B′C′,使OB′,OC′的长度是OB,OC的2倍.顺次连接三点即可;
(2)从直角坐标系中,读出B′、C′的坐标;
(3)从这两个相似三角形坐标位置关系来看,对应点的坐标正好是原坐标乘以﹣2的坐标,所以M的坐标为(x,y),写出M的对应点M′的坐标为(﹣2x,﹣2y).
【解答】解:(1)
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(2)B′(﹣6,2),C′(﹣4,﹣2);
(3)从这两个相似三角形坐标位置关系来看,对应点的坐标正好是原坐标乘以﹣2的坐标,所以M的坐标为(x,y),写出M的对应点M′的坐标为(﹣2x,﹣2y).
【点评】本题综合考查了直角坐标系和相似三角形的有关知识,注意做这类题时,性质是关键,看图也是关键.很多信息是需要从图上看出来的.
五.解答题(共2小题,满分20分,每小题10分)
19.【分析】由∠BAD=∠CAD,AO=AO,∠AOE=∠AOF=90°证△AEO≌△AFO,推出EO=FO,得出平行四边形AEDF,根据EF⊥AD得出菱形AEDF.
【解答】证明:∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
又∵EF⊥AD,
∴∠AOE=∠AOF=90°
∵在△AEO和△AFO中
,
∴△AEO≌△AFO(ASA),
∴EO=FO,
∵EF垂直平分AD,
∴EF、AD相互平分,
∴四边形AEDF是平行四边形
又EF⊥AD,
∴平行四边形AEDF为菱形.
【点评】
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本题考查了平行四边形的判定,菱形的判定,线段垂直平分线,全等三角形的性质和判定等知识点,注意:对角线互相平分的四边形是平行四边形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
20.【分析】(1)根据SAS即可证明△AEF≌△ABF,得到AB=AE;
(2)作AH⊥PQ,垂足为H.设AE=x,在直角△AHF,直角△AEP中,利用三角函数表示出HE与HF,从而可得到关于x的方程,解方程即可得解.
【解答】解:(1)相等.
∵∠BEQ=45°,∠BFQ=90°,
∴∠EBF=∠BEQ=45°,
∴EF=BF,
又∵∠AFP=45°,
∴∠BFA=45°.
在△AEF与△ABF中,
,
∴△AEF≌△ABF(SAS),
∴AB=AE;
(2)过点A作AH⊥PQ,垂足为H.
设AE=xkm,
则AH=xsin60°km,HE=xcos60°km,
∴HF=HE+EF=xcos60°+2,
Rt△AHF中,AH=HF•tan60°,
∴xsin60°=(xcos60°+2)•tan60°,
解得:x=12km
即AB=AE=12km.
答:两个岛屿A与B之间的距离约为12km.
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【点评】此题考查了方向角问题.注意能运用了三角函数,把求线段的问题转化为方程求解的问题是解此题的关键,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
六.解答题(共1小题,满分12分,每小题12分)
21.【分析】(1)用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量;
(2)用总人数分别减去A、B、D等级的人数得到C等级的人数,然后补全条形图;
(3)用700乘以D等级的百分比可估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生数;
(4)画树状图展示12种等可能的结果数,再找出抽取的两人恰好都是男生的结果数,然后根据概率公式求解.
【解答】解:(1)10÷20%=50,
所以本次抽样调查共抽取了50名学生;
(2)测试结果为C等级的学生数为50﹣10﹣20﹣4=16(人);
补全条形图如图所示:
(3)700×=56,
所以估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名;
(4)画树状图为:
共有12种等可能的结果数,其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2,
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所以抽取的两人恰好都是男生的概率==.
【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.也考查了统计图.
七.解答题(共1小题,满分12分,每小题12分)
22.【分析】(1)根据点A,C的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)过点P作PE∥y轴交x轴于点E,交直线AC于点F,过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q,设点P的坐标为(x,﹣x2﹣2x+3)(﹣2<x<1),则点E的坐标为(x,0),点F的坐标为(x,﹣x+1),进而可得出PF的值,由点C的坐标可得出点Q的坐标,进而可得出AQ的值,利用三角形的面积公式可得出S△APC=﹣x2﹣x+3,再利用二次函数的性质,即可解决最值问题;
(3)利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标,利用配方法可找出抛物线的对称轴,由点C,N的坐标可得出点C,N关于抛物线的对称轴对称,令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M,则此时△ANM周长取最小值,再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标,以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论.
【解答】解:(1)将A(1,0),C(﹣2,3)代入y=﹣x2+bx+c,得:
,解得:,
∴抛物线的函数关系式为y=﹣x2﹣2x+3;
设直线AC的函数关系式为y=mx+n(m≠0),
将A(1,0),C(﹣2,3)代入y=mx+n,得:
,解得:,
∴直线AC的函数关系式为y=﹣x+1.
(2)过点P作PE∥y轴交x轴于点E,交直线AC于点F,过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q,如图1所示.
设点P的坐标为(x,﹣x2﹣2x+3)(﹣2<x<1),则点E的坐标为(x,0),点F的坐标为(x,﹣x+1),
∴PE=﹣x2﹣2x+3,EF=﹣x+1,
EF=PE﹣EF=﹣x2﹣2x+3﹣(﹣x+1)=﹣x2﹣x+2.
∵点C的坐标为(﹣2,3),
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∴点Q的坐标为(﹣2,0),
∴AQ=1﹣(﹣2)=3,
∴S△APC=AQ•PF=﹣x2﹣x+3=﹣(x+)2+.
∵﹣<0,
∴当x=﹣时,△APC的面积取最大值,最大值为,此时点P的坐标为(﹣,).
(3)当x=0时,y=﹣x2﹣2x+3=3,
∴点N的坐标为(0,3).
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1.
∵点C的坐标为(﹣2,3),
∴点C,N关于抛物线的对称轴对称.
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M,如图2所示.
∵点C,N关于抛物线的对称轴对称,
∴MN=CM,
∴AM+MN=AM+MC=AC,
∴此时△ANM周长取最小值.
当x=﹣1时,y=﹣x+1=2,
∴此时点M的坐标为(﹣1,2).
∵点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(﹣2,3),点N的坐标为(0,3),
∴AC==3,AN==,
∴C△ANM=AM+MN+AN=AC+AN=3+.
∴在对称轴上存在一点M(﹣1,2),使△ANM的周长最小,△ANM周长的最小值为3+.
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【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式;(2)利用三角形的面积公式找出S△APC=﹣x2﹣x+3;(3)利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置.
八.解答题(共1小题,满分14分,每小题14分)
23.【分析】(1)连接EM、CM,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得EM=CM;再由等腰三角形三线合一的性质得
出结论;
(2)证明△AEC∽△BFC,得,由AC=2BC得AE=2BF;
(3)证明△ACB∽△AEP,得,从而知道AE=2PE,由AE=2BF得PE=BF;根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得OC=EF,代入得结论.
【解答】证明:(1)如图1,连接EM、CM,
∵AE⊥BE,M是AB的中点,
∴EM=AB,CM=AB,
∴EM=CM,
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∵N是EC的中点,
∴MN⊥EC;
(2)如图2,∵∠ECF=90°,∠ACB=90°,
∴∠ECA+∠ACF=90°,∠ACF+∠FCB=90°,
∴∠ECA=∠FCB,
∵∠CFB=∠ECF+∠CEF=90°+∠CEF,
∠AEC=∠AEB+∠CEF=90°+∠CEF,
∴∠CFB=∠AEC,
∴△AEC∽△BFC,
∴,
∵AC=2BC,
∴AE=2BF;
(3)如图3,过点C作CF⊥EC交BD于点F,
∵∠AEP=∠ACB=90°,∠BAC=∠PAE,
∴△ACB∽△AEP,
∴,
∵AC=2BC,
∴AE=2PE,
∵AE=2BF,
∴PE=BF,
∵O为BP的中点,
∴PO=BO,
∴EO=FO,
∴CO=EF=(BE﹣BF)=(BE﹣PE).
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【点评】本题是三角形的综合题,考查了全等三角形、相似三角形的性质和判定,利用相似三角形的对应边相等得出两边的倍数关系;同时,在直角三角形中,如果有斜边上的中线,可以运用斜边上的中线性质得出两边之间的倍数关系;对于证明垂直的关系除了利用角的大小来证明外,也可以利用等腰三角形的三线合一来证明.
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