2019年北京市海淀区清华大学附中中考数学调研试卷（4月份）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列对于二次根式的计算正确的是（ ）
A． B．2＝2 C．2＝2 D．2＝
2．阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝，请根据该阅读材料计算：已知x1、x2是方程x2+6x+3＝0的两实属根，则+的值为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）
A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0
4．如图，D3081次六安至汉口动车在金寨境内匀速通过一条隧道（隧道长大于火车长），火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，∠x的两条边被一直线所截，用含α和β的式子表示∠x为（ ）
A．α﹣β B．β﹣α C．180°﹣α+β D．180°﹣α﹣β
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6．如图，△OAB绕点O逆时针旋转85°得到△OCD，若∠A＝110°，∠D＝40°，则∠α的度数是（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
7．两个人的影子在两个相反的方向，这说明（ ）
A．他们站在阳光下 B．他们站在路灯下
C．他们站在路灯的两侧 D．他们站在月光下
8．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形EBGF，此时恰好四边形AEHB为菱形，连接CH交FG于点M，则HM的长度为（ ）
A． B．2 C． D．1
9．Windows 2000下有一个有趣的“扫雷”游戏．如图是“扫雷”游戏的一部分，说明：图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷．现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其他地方为安全区（包括有数字的方格），则A、B、C三个方格中有地雷概率最大的方格是（ ）
A
B
C
2
2
A．A B．B C．C D．无法确定
10．定义一种变换f：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若某一序列S0，经变换得到新序列S1，由序列S1继续进行变换得到
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S2，…，最终得到序列Sn﹣1（n≥2）与序列Sn相同，则下面的序列可作为Sn的是（ ）
A．（1，2，1，2，2） B．（2，2，2，3，3）
C．（1，1，2，2，3） D．（3，2，3，3，2）
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．化简的结果为 ．
12．定义运算“※”：a※b＝，若5※x＝2，则x的值为 ．
13．在平面直角坐标系中将点A（3，2）向y轴的负方向平移3个单位长度所得点的坐标为 ．
14．如图，有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm，4cm，6cm将圆盘分为三部分，飞镖可以落在任何一部分内，那么飞镖落在阴影圆环内的概率是 ．
15．如图，AB是⊙O的直径，BT是⊙O的切线，若∠ATB＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积是 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，以BC为边在三角形外作正方形BCDE，连接BD，CE交于点O，则线段AO的最大值为 ．
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三．解答题（共7小题，满分10分）
17．先化简再求值：（a﹣）÷，其中a＝1+，b＝1﹣．
18．解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
19．如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB＝DE，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，CD＝BF．
求证：（1）△ABC≌△EDF；
（2）AB∥DE．
20．如图所示，⊙O中，弦AC、BD交于E，．
（1）求证：；
（2）延长EB到F，使EF＝CF，试判断CF与⊙O的位置关系，并说明理由．
21．（10分）某校九年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：
（1）则样本容量是 ，并补全直方图；
（2）该年级共有学生500人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12的次数；
（3）已知A组发言的学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生，现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率．
发言次数n
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A
0≤n＜3
B
3≤n＜6
C
6≤n＜9
D
9≤n＜12
E
12≤n＜15
F
15≤n＜18
22．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；
（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．
23．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC：AB＝3：5，点P从点B以2cm/s的速度向点C移动，点Q以1cm/s的速度从点C向点A移动，如果点P，Q同时出发，则点P移动多少秒时△CPQ
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与△ABC相似？
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2019年北京市海淀区清华大学附中中考数学调研试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝，所以B选项错误；
C、原式＝2，所以C选项正确；
D、原式＝6，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
2．【分析】利用材料中的根与系数的关系求出x1+x2＝﹣6，x1•x2＝3，再代入化简后的式子即可求解．
【解答】解：∵x1+x2＝﹣，x1•x2＝，
∴在方程x2+6x+3＝0中，x1+x2＝﹣6，x1•x2＝3，
∴+＝＝＝＝10．
故选：A．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是理解材料中的根与系数的关系．
3．【分析】根据二次函数的图象求出a＜0，c＞0，根据抛物线的对称轴求出b＝﹣2a＞0，即可得出abc＜0；根据图象与x轴有两个交点，推出b2﹣4ac＞0；对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），求出与x轴另一个交点的坐标是（3，0），把x＝3代入二次函数得出y＝9a+3b+c＝0；把x＝4代入得出y＝16a﹣8a+c＝8a+c，根据图象得出8a+c＜0．
【解答】解：A、∵二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
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∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，故本选项错误；
B、∵图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故本选项错误；
C、∵对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），
∴与x轴另一个交点的坐标是（3，0），
把x＝3代入二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）得：y＝9a+3b+c＝0，故本选项错误；
D、∵当x＝3时，y＝0，
∵b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
把x＝4代入得：y＝16a﹣8a+c＝8a+c＜0，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象、性质，二次函数图象与系数的关系，主要考查学生的观察图形的能力和辨析能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．
4．【分析】先分析题意，把各个时间段内y与x之间的关系分析清楚，本题是分段函数，分为三段．
【解答】解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当火车开始进入时y逐渐变大，火车完全进入后一段时间内y不变，当火车开始出来时y逐渐变小，故反映到图象上应选A．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，主要考查了根据实际问题作出函数图象的能力．解题的关键是要知道本题是分段函数，分情况讨论y与x之间的函数关系．
5．【分析】根据β为角x和α的对顶角所在的三角形的外角，再根据三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．
【解答】解：如图，∵α＝∠1，
∴β＝x+∠1
整理得：x＝β﹣α．
故选：B．
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【点评】本题主要利用三角形外角的性质求解，需要熟练掌握并灵活运用．
6．【分析】根据旋转的性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：∠DOB＝85°，
∵△DCO≌△BAO，
∴∠D＝∠B＝40°，
∴∠AOB＝180°﹣40°﹣110°＝30°
∴∠α＝85°﹣30°＝55°
故选：C．
【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是正确理解旋转的性质，本题属于基础题型．
7．【分析】本题考查中心投影的特点．
【解答】解：根据两个人的影子在两个相反的方向，则一定是中心投影；且两人同在光源两侧．故选C．
【点评】本题考查中心投影的特点：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
8．【分析】连接AC，交BE于O，根据旋转变换的性质得到AB＝BE，根据等边三角形的性质得到AE＝AB，得到△ABE是等边三角形，根据等边三角形的性质、勾股定理计算即可．
【解答】解：连接AC，交BE于O，
∵将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形EBGF，
∴AB＝BE，
∵四边形AEHB为菱形，
∴AE＝AB，
∴AB＝AE＝BE，
∴△ABE是等边三角形，
∵AB＝6，AD＝2，
∴tan∠CAB＝＝，
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∴∠BAC＝30°，
∴AC⊥BE，
∴C在对角线AH上，
∴A，C，H共线，
∴AO＝OH＝AB＝3，
∵∠COB＝∠OBG＝∠G＝90°，
∴四边形OBGM是矩形，
∴OM＝BG＝BC＝2，
∴HM＝OH﹣OM＝，
故选：A．
【点评】本题考查的是旋转变换的性质、菱形的性质、矩形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．
9．【分析】根据图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，即可得出B，C均不是地雷，即可得出答案．
【解答】解：根据题意分析可得：B，C一定不是地雷，
∴A处是雷，则B，C处均不地雷，
P（A）＝1；P（B）＝0；P（C）＝0．
故A、B、C三个方格中有地雷概率最大的是A．
故选：A．
【点评】此题主要考查了概率的求法与运用，根据已知得出右边2靠近B，C，此时B，C均不是地雷是解决问题的关键．
10．【分析】根据已知中有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，继续变换到Sn﹣1（n≥2），可得Sn﹣1中2的个数应为2个，由此可排除A，B答案，而3的个数应为3个，由此可排除C，进而得到答案．
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【解答】解：根据题意可知，Sn﹣1（n≥2）和Sn相同，
若A选项作为Sn﹣1，变换后为Sn：（2，3，2，3，3），与Sn﹣1不同，故排除．
若B选项作为Sn﹣1，变换后为Sn：（3，3，3，2，2）与Sn﹣1不同，故排除．
同理C选项变换后为Sn：（2，2，2，2，1），与Sn﹣1不同，故排除．
故选：D．
【点评】本题为创新定义题，要求学生读懂题意，根据新定义解决问题．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．【分析】依据二次根式的基本性质＝|a|进行化简即可．
【解答】解：＝|﹣2|＝2﹣，
故答案为：2﹣．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质，解题时注意二次根式的基本性质＝|a|的运用．
12．【分析】首先认真分析找出规律，根据5与x的取值范围，分别得出分式方程，可得对应x的值．
【解答】解：当x＜5时，＝2，x＝，
经检验，x＝是原分式方程的解；
当x＞5时，＝2，x＝10，
经检验，x＝10是原分式方程的解；
综上所述，x＝或10；
故答案为：或10．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用以及新定义题型，是近几年的考试热点之一．新定义题型需要依据给出的运算法则进行计算，这和解答实数或有理数的混合运算相同，其关键仍然是正确的理解与运用运算的法则．
13．【分析】利用点平移的坐标规律求解．
【解答】解：点A（3，2）向y轴的负方向平移3个单位长度所得点的坐标为（3，﹣1）．
故答案为（3，﹣1）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a
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个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
14．【分析】根据圆环面积求法得出圆环面积，再求出大圆面积，即可得出飞镖落在阴影圆环内的概率．
【解答】解：∵有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm，4cm，6cm将圆盘分为三部分，
∴阴影部分面积为：π（42﹣22）＝12π，大圆的面积为：36π，
∴那么飞镖落在阴影圆环内的概率是：＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了几何概率，根据三圆半径依次是2cm，4cm，6cm求出圆环面积与大圆面积是解决问题的关键．
15．【分析】由题意可得：∠CAB＝∠CBA＝45°＝∠ATB，AB＝TB＝2，可得AC＝BC＝TC，即点C是的中点，则S阴影＝S△TCB，即S阴影＝S△ABT＝××2×2＝1．
【解答】解：如图：设AT与圆O相交于点C，连接BC
∵BT是⊙O的切线
∴AB⊥TB，
又∵∠ATB＝45°
∴∠TAB＝45°＝∠ATB
∴AB＝TB＝2
∵AB是直径
∴∠ACB＝90°
∴∠CAB＝∠CBA＝45°＝∠ATB
∴AC＝BC＝TC
∴点C是的中点
∴S阴影＝S△TCB
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∴S阴影＝S△ABT＝××2×2＝1
故答案为：1
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角的定理，熟练运用这些性质是本题的关键．
16．【分析】以AO为边作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°，由题意可证△AOB≌△FOC，可得AB＝CF＝4，根据三角形的三边关系可求AF的最大值，即可得AO的最大值．
【解答】解：如图：以AO为边作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°
∵四边形BCDE是正方形
∴BO＝CO，∠BOC＝90°
∵△AOF是等腰直角三角形
∴AO＝FO，AF＝AO
∵∠BOC＝∠AOF＝90°
∴∠AOB＝∠COF，且BO＝CO，AO＝FO
∴△AOB≌△FOC（SAS）
∴AB＝CF＝4
若点A，点C，点F三点不共线时，AF＜AC+CF；
若点A，点C，点F三点共线时，AF＝AC+CF
∴AF≤AC+CF＝3+4＝7
∴AF的最大值为7
∵AF＝AO
∴AO的最大值为．
故答案为：
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，恰当添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．
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三．解答题（共7小题，满分10分）
17．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，
【解答】解：当a＝1+，b＝1﹣时，
原式＝•
＝•
＝
＝
＝
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
18．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①，得：x≥﹣1，
解不等式②，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．【分析】（1）由垂直的定义，结合题目已知条件可利用HL证得结论；
（2）由（1）中结论可得到∠D＝∠B，则可证得结论．
【解答】证明：
（1）∵AC⊥BD，EF⊥BD，
∴△ABC和△EDF为直角三角形，
∵CD＝BF，
∴CF+BF＝CF+CD，即BC＝DF，
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在Rt△ABC和Rt△EDF中，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF（HL）；
（2）由（1）可知△ABC≌△EDF，
∴∠B＝∠D，
∴AB∥DE．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性质（即对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
20．【分析】（1）连接BC，由，得弧AD＝弧AB，则∠ABD＝∠ACB，得到△ABE∽△ABC，所以；
（2）连接AO、CO，由A为中点，得到AO⊥DB，得到∠OAC+∠AED＝90°，所以∠OAC+∠FEC＝90°，而EF＝CF，则∠FEC＝∠ECF，
又∠OAC＝∠OCA，所以∠OAC+∠FEC＝∠OCA+∠ECF＝90°，即得到CF与⊙O相切．
【解答】证明：（1）连接BC，如图，
∵．
∴弧AD＝弧AB，
∴∠ABD＝∠ACB，
而∠CAB公用，
∴△ABE∽△ABC，
∴，
∴；
（2）CF与⊙O相切．理由如下：
连接AO、CO，
∵A为中点，
∴AO⊥DB，
∴∠OAC+∠AED＝90°
∵∠AED＝∠FEC，
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∴∠OAC+∠FEC＝90°，
又∵EF＝CF，
∴∠FEC＝∠ECF，
∵AO＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠OAC+∠FEC＝∠OCA+∠ECF＝90°，
∴FC与⊙O相切．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．也考查了三角形相似的判定与性质、等腰三角形的性质和切线的判定．
21．【分析】（1）根据B、E两组发言人数的比和E组所占的百分比，求出B组所占的百分比，再根据B组的人数求出样本容量，从而求出C组的人数，即可补全统计图；
（2）用该年级总的学生数乘以E和F组所占的百分比的和，即可得出答案；
（3）先求出A组和E组的男、女生数，再根据题意画出树状图，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵B、E两组发言人数的比为5：2，E占8%，
∴B组所占的百分比是20%，
∵B组的人数是10，
∴样本容量为：10÷20%＝50，
∴C组的人数是50×30%＝15（人），
∴F组的人数是50×（1﹣6%﹣20%﹣30%﹣26%﹣8%）＝5（人），
补图如下：
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（2）∵F组的人数是1﹣6%﹣8%﹣30%﹣26%﹣20%＝10%，
∴发言次数不少于12的次数所占的百分比是：8%+10%＝18%，
∴全年级500人中，在这天里发言次数不少于12的次数为：500×18%＝90（次）．
（3）∵A组发言的学生为：50×6%＝3人，有1位女生，
∴A组发言的有2位男生，
∵E组发言的学生：4人，
∴有2位女生，2位男生．
∴由题意可画树状图为：
∴共有12种情况，所抽的两位学生恰好是一男一女的情况有6种，
∴所抽的两位学生恰好是一男一女的概率为＝．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22．【分析】（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x＝﹣＝2，抛物线过是A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y＝ax2+bx﹣3，把B点坐标代入函数表达式，即可求解；
（2）分AB＝AC、AB＝BC、AC＝BC，三种情况求解即可；
（3）由S△PAB＝•PH•xB，即可求解．
【解答】解：（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x＝﹣＝2…①，
抛物线过是A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y＝ax2+bx﹣3，
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把B点坐标代入上式得：9＝25a+5b﹣3…②，
联立①、②解得：a＝，b＝﹣，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3，
当x＝2时，y＝﹣，即顶点D的坐标为（2，﹣）；
（2）A（0，﹣3），B（5，9），则AB＝13，
①当AB＝AC时，设点C坐标（m，0），
则：（m）2+（﹣3）2＝132，解得：m＝±4，
即点C坐标为：（4，0）或（﹣4，0）；
②当AB＝BC时，设点C坐标（m，0），
则：（5﹣m）2+92＝132，解得：m＝5，
即：点C坐标为（5，0）或（5﹣2，0），
③当AC＝BC时，设点C坐标（m，0），
则：点C为AB的垂直平分线于x轴的交点，
则点C坐标为（，0），
故：存在，
点C的坐标为：（4，0）或（﹣4，0）或（5，0）或（5﹣2，0）或（，0）；
（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H，
设：AB所在的直线过点A（0，﹣3），则设直线AB的表达式为y＝kx﹣3，
把点B坐标代入上式，9＝5k﹣3，则k＝，
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故函数的表达式为：y＝x﹣3，
设：点P坐标为（m， m2﹣m﹣3），则点H坐标为（m， m﹣3），
S△PAB＝•PH•xB＝（﹣m2+12m），
当m＝2.5时，S△PAB取得最大值为：，
答：△PAB的面积最大值为．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
23．【分析】首先设点P移动t秒时△CPQ与△ABC相似，由△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC：AB＝3：5，可求得AC与BC的长，然后分别从当，即时，△CPQ∽△CBA，与当，即时，△CPQ∽△CAB，去分析求解即可求得答案．
【解答】解：设点P移动t秒时△CPQ与△ABC相似，
∵△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC：AB＝3：5，
∴AC＝6cm，AB＝10cm，
∵点P从点B以2cm/s的速度向点C移动，点Q以1cm/s的速度从点C向点A移动，
∴BP＝2tcm，CQ＝tcm，则CP＝CB﹣BP＝8﹣2t（cm），
∵∠C是公共角，
∴当，即时，△CPQ∽△CBA，
解得：t＝；
当，即时，△CPQ∽△CAB，
解得：t＝，
∴点P移动s或s时△CPQ与△ABC相似．
【点评】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想以及方程思想的应用．
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