2018-2019年佛山市第一中学高二下学期第一次段考试题
数 学（文科）
命题人：王彩凤 审题人：张斌2019年3月
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.
注意事项:
1． 答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.点的直角坐标是，则点的极坐标为
A.B. C. D.
2.设点的柱坐标为，则的直角坐标是
A. B. C. D.
3.极坐标系中，点，之间的距离是
A. B. C. D.
4.曲线经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：，则曲线的方程为
A. B. C. D.
5.在同一坐标系中，将曲线变为曲线的伸缩变换公式是
A. B. C. D.
6.在极坐标系中，圆上的点到直线距离的最大值是
A. B. C. D.
7.直线被曲线所截的弦长为
A. B. C. D.
8.将函数图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的倍,再把所得的图象沿轴向右平移个单位,这样所得的曲线与的图象相同,则函数的表达式是( )
A. B. C. D.
9.曲线的极坐标方程为, 直线与曲线交于两点，则为（ ）．
A. B. C. D.
10.点是椭圆上的一个动点，则的最大值为
A. B. C. D.
11.已知双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
12.已知函数.若存在，使得，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.
13.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持和不支持两种态度）的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算 ，则至少有的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．
0.001
2.706
3.841
10.828
14.观察下列各式：，，，，，则
．
15.在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为_________．
16.设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与相交于点. 若，且的面积为，则的值为______．
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
如图，在三棱锥中，，，点E、F分别为AC、AD的中点．
求证：平面BCD；
2求证：平面平面ABD.
18.(本小题满分12分)
随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题某汽车销售公司作了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限与所支出的总费用（万元）有如表的数据资料：
使用年限
2
3
4
5
6
总费用
(1) 在给出的坐标系中做出散点图；
求线性回归方程中的、；
估计使用年限为年时，车的使用总费用是多少？
（最小二乘法求线性回归方程系数公式，.）
19.(本小题满分12分)
已知函数．
（1） 求曲线在点处的切线方程；
（2） 求函数的单调区间．
20.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中，直线过点，倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．
写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；
若，设直线与曲线交于两点，求
(3)在（2）条件下，求的面积．
21.(本小题满分12分)
在直角坐标系中，椭圆的方程为；以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．
求椭圆的极坐标方程，及圆的普通方程；
若动点在椭圆上，动点在圆上，求的最大值；
若射线分别与椭圆交于点，求证：为定值.
22.(本小题满分12分)
如图，已知椭圆：的离心率是，一个顶点是．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ设是椭圆上异于点的任意两点，且.试问：直线是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．
2018-2019年佛山市第一中学高二下学期第一次段考答案（文科数学）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
B
C
A
C
D
A
B
C
D
B
A
13.99％ 14.7615.16.
10.解：由椭圆化为，设，，
，其中．
的最大值为．
11.解：由题意可得，，，，，，
且，菱形的边长为，
由以为直径的圆内切于菱形，
运用面积相等，可得，即为，即有，
由，可得，解得，可得，舍去．
12.解：， ，
若存在，使得，则若存在，使得，
即存在，使得成立，
令，，则，在递增，
，故，
15.解：把代入双曲线，可得：
，
，，，，．
该双曲线的渐近线方程为：
16.解：抛物线为参数，的普通方程为：焦点为，如图：过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设，AF与BC相交于点，
，，，
的面积为，，可得．
即：，解得．
17.Ⅰ证明：在中，，F是AC，AD的中点，
， ……………………………………………………………………………………1分
平面BCD，平面BCD，
平面BCD． ……………………………………………………………………………………4分
Ⅱ证明：在中，，，
， ……………………………………………………………………………………5分
在中，，F为AD的中点，
， ……………………………………………………………………………………6分
平面EFB，平面EFB，且，
平面EFB， ……………………………………………………………………………………9分
平面ABD，平面平面ABD．…………………………………………………………10分
18.解：散点图如图，由图知y与x间有线性相关关系．
……………………………………………………………………………………3分
，，，，
；
． ……………………………………………………………………9分
线性回归直线方程是，
当年时，万元．
即估计使用12年时，支出总费用是万元．………………………………………………………12分
19.解：Ⅰ依题意，函数的定义域为， 且，…………………………2分
，，………………………………………………………………………………4分
曲线在点处的切线方程为：
即； ……………………………………………………………………………6分
Ⅱ依题意，函数的定义域为，且，
令 ，解得，或，………………………………………………………………8分
令，解得，…………………………………………………………………………10分
故函数的单调增区间为，函数的单调递减区间为．……………………………12分
20.解：直线L的参数方程为：为参数．…………………………………2分
曲线C的极坐标方程是，即，…………………………………………3分
由，得，………………………………………………………………………4分
C的直角坐标方程为：；…………………………………………………………………………5分
当时，直线l的参数方程为：为参数，………………………………6分
代入得到：和为A和B的参数，……………………………………7分
所以：，．……………………………………………………………………9分
所以：．…………………………………………………………………………10分
（3）O到AB的距离为：．…………………………………………………………11分
则：．………………………………………………………………………12分
21.解 椭圆C化为普通方程为：；
将，代入的C的极坐标方程为…………………2分
又圆E的普通方程： ，
由，得，即…………………………4分
由知圆心为，半径为8，则 …………………………5分 ，
利用椭圆参数方程，设：
得，………7分
当时，，则 …………………………………8分
椭圆C极坐标方程：
因为射线互相垂直，即，…………………………………………9分
所有设：，所以．…………………………………10分
为定值．…………………………………………………………………………12分
22Ⅰ解：设椭圆C的半焦距为依题意，得，………………………………………………1分
且 ， ……………………………………………………………………………3分
解得 ………………………………………………………………………………………4分
所以，椭圆C的方程是………………………………………………………………5分
Ⅱ证法一：易知，直线PQ的斜率存在，设其方程为 ……………………………6分
将直线PQ的方程代入，
消去y，整理得 ………………………………………7分
设 ，，
则 ，…………………………………………………8分
因为 ，且直线BP，BQ的斜率均存在，
所以 ，整理得 ………………………9分
因为 ，，
所以 ，
将代入，整理得…………………10分
将代入，整理得 ……………………………………………………11分
解得 ，或舍去．
所以，直线PQ恒过定点…………………………………………………………………12分
证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为…………………………6分
将直线BP的方程代入，消去y，得 …………………7分
解得 ，或……………………………………………………………………8分
设 ，所以，，
所以 ………………………………………………………………………9分
以替换点P坐标中的k，可得 ………………………………………………10分
从而，直线PQ的方程是 ．
依题意，若直线PQ过定点，则定点必定在y轴上………………………………………………11分
在上述方程中，令，解得．
所以，直线PQ恒过定点……………………………………………………………………12分
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