佛山一中高二第一次段考理科数学
副标题
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 函数f(x)=x3+x在点x=1处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
2. 函数，则（ ）
A. 为函数的极大值点 B. 为函数的极小值点
C. 为函数的极大值点 D. 为函数的极小值点
3. （理）的值是（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的图象如图所示，则不等式的解集为 ( )
A. B.
C. D.
5. 若y=f（x）在（-∞，+∞）可导，且，则=（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
1. 已知f（x）=x2+3xf′（1），则f′（2）=（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
2. 已知y=+（b+6）x+3在R上存在三个单调区间，则b的取值范围是（ ）
A. 或 B. C. D. 或
3. 如图所示，正弦曲线y=sinx，余弦曲线y=cosx与两直线x=0，x=π所围成的阴影部分的面积为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
4. 下列说法正确的是：（）
设函数可导，则 ；
过曲线外一定点做该曲线的切线有且只有一条；
已知做匀加速运动的物体的运动方程是米，则该物体在时刻秒的瞬时速度是5米秒；
一物体以速度米秒做直线运动，则它在到秒时间段内的位移为12米；
已知可导函数，对于任意时，f'(x)>0 是函数在上单调递增的充要条件．
A. B. C. D.
5. 若函数在上可导,则 ( )
A. B. C. D.
1. 已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则．”若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A-BCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 把非零自然数按－定的规则排成了下面所示的三角形数表(每行比上一行多一个数)，设（aij，ij∈N+）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，如a42=8，若i=65，j=3，则aij的值为( )
1
2 4
3 5 7
6 8 10 12
9 11 13 15 17
14 16 18 20 22 24
…
A. 2053 B. 205l C. 2049 D. 2047
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
3. 已知函数在（0，2）上有极值，则实数m的值为______．
4. 函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于_____________。
5. 函数f（x）=x3+ax-2在区间[1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是______．
6. 在函数f（x）=alnx+（x+1）2（x＞0）的图象上任取两个不同点P（x1，y1），Q（x2，y2），总能使得f（x1）-f（x2）≥4（x1-x2），且x1＞x2，则实数a的取值范围为______．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
7.
已知函数f（x）=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1
（1）求a、b的值；
（2）求出函数f（x）的单调区间．
1. 已知函数f（x）=x3+x-16．
（1）求曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程；
（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
2. 如图所示，抛物线与x轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地，其中A、B在抛物线上，C、D在x轴上已知工业用地每单位面积价值为3a元，其它的三个边角地块每单位面积价值a元．
Ⅰ求等待开垦土地的面积；
Ⅱ如何确定点C的位置，才能使得整块土地总价值最大．
1. 一种十字绣作品由相同的小正方形构成，如图，图①②③④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照如此规律，第n步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为f(n).
① ② ③ ④
(1)求出f(2)，f(3)，f(4)的值；
(2)利用归纳推理，归纳出f(n+1)与f(n)的关系式；
(3)猜想f(n)的表达式，并写出推导过程.
2. 已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间
（Ⅱ）已知g（x）=4x-3•2x+1，若对任意的m∈（0，+∞），存在n∈[0，1]，使得f（m）＜g（n），求实数a的取值范围．
3.
设函数（其中k∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当k＞0时，讨论函数f（x）的零点个数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查导数的几何意义，首先求出函数f(x)在点x=1处的导数，也就是切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程．．
【解答】
解：∵，
∴切线斜率，
又∵f(1)=2，∴切点为（1，2），
∴切线方程为y-2=4（x-1），
即4x-y-2=0.
故选B.
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及极值，考查计算能力，属于基础题．求导，令f′（x）＞0，求得函数的单调递增区间，令f′（x）＜0，求得函数的单调递减区间，根据单调性得到函数的极值问题.
【解答】
解：的定义域（0，+∞），f′（x）=，
令f′（x）=＞0，解得：0＜x＜e，令f′（x）=＜0，解得：x＞e，
∴函数在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减，
∴当x=e时，函数有极大值.
故选A.
3.【答案】A
【解析】
解：=，
设，则（x-1）2+y2=1，（,y≥0），表示为圆心在（1，
0），半径为1的圆，所以由积分的几何意义可知,
而，
所以=．
故选A．
根据微积分的积分公式和微积分基本定理的几何意义进行计算即可．
本题主要考查微积分的基本公式以及微积分的几何意义，要求熟练掌握基本函数的微积分公式．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，同时考查了分类讨论的思想，属于基础题．
根据函数图象分别讨论x∈（-∞，-1）时，x∈（-1，1）时，x∈（1，+∞）时的情况，从而得出答案．
【解答】
解：x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，
解不等式（x+3）•f′（x）＜0，得x＜-3，
x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，
解不等式（x+3）•f′（x）＜0，得；-1＜x＜1，
x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
解不等式（x+3）•f′（x）＜0，无解．
综合得x∈（-∞，-3）∪（-1，1），
故选A．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查导数的计算，根据导数的极限定义进行转化是解决本题的关键．
根据导数的定义进行求解即可．
【解答】
解：∵，
∴•=1，
即=1，
则=.
故选D.
6.【答案】A
【解析】
【分析】
先求出f′（x）=2x+3f'（1），令x=1，求出f′（1 ）后，导函数即可确定，再求f'（2）．本题考查函数与导数，求导公式的应用及函数值求解．本题求出f′（1 ）是关键步骤．
【解答】
解：f′（x）=2x+3f'（1），令x=1，得f′（1）=2+3f'（1），f′（1）=-1，
∴f′（x）=2x-3．
∴f'（2）=1．
故选A．
7.【答案】D
【解析】
解：若y=+（b+6）x+3在R上存在三个单调区间，
只需y′=x2+2bx+（b+6）=0有2个不相等的实数根，
即只需△=4b2-4（b+6）＞0，解得：b＜-2或b＞3，
故选：D．
问题转化为只需y′=x2+2bx+（b+6）=0有2个不相等的实数根即可．
本题考查了函数的单调性问题，考察二次函数的性质，是一道基础题．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本小题主要考查定积分的几何意义以及定积分的基本运算，对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求．由图形可知，阴影部分的面积等于正弦函数与余弦函数图形到的面积，所以利用此区间的定积分可求．
【解答】
解：由图形以及定积分的意义，得到所求封闭图形面积等价于；
故选D．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了导数的概念，导数的几何意义，以及导数的单调性，根据条件逐项判断即可.
【解答】
解：对于选项①，设函数,则，故①错.
对于选项②，过曲线y=f(x)外一定点做该曲线的切线有且只有一条，故②错.
对于选项③，已知做匀速运动的物体的运动方程为，则，所以,故③正确.
对于选项④，一物体以速度做直线运动，则它在t=0到t=2时间段内的位移为，故④正确.
对于选项⑤，已知可导函数，对于任意时，是函数在(a，b)上单调递增的充分不必要条件，故⑤错.
故选B.
10.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，是基础题.
利用f（x）＜xf′（x），证明是R上的单调增函数，即可得出结论．
【解答】
解：∵f（x）＜xf′（x），
∴f（x）-xf′（x）＜0，∴>0,
∴是R上的单调增函数，∴，
∴ef（1）
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