2017-2018学年四川省凉山州九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每题3分，共39分）
1．（3分）将一元二次方程5x2﹣1=4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．5，﹣1 B．5，4 C．5，﹣4 D．5x2，﹣4x
2．（3分）抛物线y=2（x+m）2+n（m，n是常数）的顶点坐标是（ ）
A．（m，n） B．（﹣m，n） C．（m，﹣n） D．（﹣m，﹣n）
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）两个同心圆中大圆的弦AB与小圆相切于点C，AB=8，则形成的圆环的面积为（ ）
A．无法求出 B．8 C．8π D．16π
5．（3分）同时投掷两枚普通的正方体骰子，所得两个点数之和大于9的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1
7．（3分）当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）⊙O的内接正三角形和外切正方形的边长之比是（ ）
A．：2 B．1：1 C．1： D．：
9．（3分）若函数，则当函数值y=8时，自变量x的值是（ ）
A．± B．4 C．±或4 D．4或﹣
10．（3分）下列事件中必然发生的是（ ）
A．抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上
B．掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数是3
C．通常情况下，抛出的篮球会下落
D．阴天就一定会下雨
11．（3分）如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（ ）
A．向右平移7格
B．以AB的垂直平分线为对称轴作轴对称变换，再以AB为对称轴作轴对称变换
C．绕AB的中点旋转180°，再以AB为对称轴作轴对称
D．以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格
12．（3分）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程可能是（ ）
A．x2+3x﹣2=0 B．x2+3x+2=0 C．x2﹣3x+2=0 D．x2﹣2x+3=0
13．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①a＜0；②b＜0；③c＞0；④2a+b=0；⑤a﹣b+c＜0，其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每题3分，共15分）
14．（3分）某种品牌的电脑，原价是7200元/台，经过连续两次降价后，现价是3528元/台，平均每次降价的百分率为 ．
15．（3分）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行的时间x（单位：s）的函数解析式是y=﹣1.2x2+48x，则飞机着陆后滑行 m后才能停下来．
16．（3分）圆锥的母线长5cm，底面半径长3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是 度．
17．（3分）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD，AE⊥BC于E，若线段AE=5，则S四边形ABCD= ．
18．（3分）在平面直角坐标系中，O为原点，⊙O的半径为7，直线y=mx﹣3m+4交⊙O于A、B两点，则线段AB的最小值为 ．
三、解答题（共46分）
19．（6分）解方程： =1﹣．
20．（6分）如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（若指针指在分界线时重转）．
（1）请你用树状图或列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果；
（2）求每次游戏结束得到的一组数恰好是方程x2﹣3x+2=0的解的概率．
21．（6分）某商店在销售中发现：“米奇”牌童装平均每天可售出2
0件，每件赢利40元．为了迎“六一”儿童节，商场决定适当地降价，以扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将△ABC向上平移3个单位后，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标．
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，请画出旋转后的△A2B2C2，并求点B所经过的路径长（结果保留x）
23．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）当Rt△ABC的斜边长a为，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．
24．（6分）如图，△ABC内接于半圆，AB为直径，过点A作直线MN，若∠MAC=∠ABC
（1）求证：MN是该圆的切线
（2）设D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F，求证：FD=FG．
25．（9分）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1．
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；
（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．
2017-2018学年四川省凉山州九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共39分）
1．（3分）将一元二次方程5x2﹣1=4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．5，﹣1 B．5，4 C．5，﹣4 D．5x2，﹣4x
【解答】解：方程整理得：5x2﹣4x﹣1=0，
则二次项系数和一次项系数分别为5，﹣4．
故选C．
2．（3分）抛物线y=2（x+m）2+n（m，n是常数）的顶点坐标是（ ）
A．（m，n） B．（﹣m，n） C．（m，﹣n） D．（﹣m，﹣n）
【解答】解：因为抛物线y=2（x+m）2+n是顶点式，根据顶点式的坐标特点，它的顶点坐标是（﹣m，n）．
故选B．
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：第一个图是轴对称图形，是中心对称图形；
第二个图是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个图是轴对称图形，又是中心对称图形；
第四个图是轴对称图形，不是中心对称图形；
既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个，
故选：B．
4．（3分）两个同心圆中大圆的弦AB与小圆相切于点C，AB=8，则形成的圆环的面积为（ ）
A．无法求出 B．8 C．8π D．16π
【解答】解：如图所示，
∵弦AB与小圆相切，
∴OC⊥AB，
∴C为AB的中点，
∴AC=BC=AB=4，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：OA2﹣OC2=AC2=16，
则形成圆环的面积为πOA2﹣πOC2=π（OA2﹣OC2）=16π，
故选D．
5．（3分）同时投掷两枚普通的正方体骰子，所得两个点数之和大于9的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：同时投掷两枚普通的正方体骰子，一共有36种结果，其中两个点数之和大于9的结果有4+6，5+5，5+6，6+4，6+5，6+6共6种，
所以所得两个点数之和＞9的概率是．
故选A．
6．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＞且k≠1．
故选C．
7．（3分）当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，
当a＞0时，b＞0，y=ax2与开口向上，过原点，y=ax+b过一、二、三象限；
此时，没有选项符合，
当a＜0时，b＜0，y=ax2与开口向下，过原点，y=ax+b过二、三、四象限；
此时，D选项符合，
故选D．
8．（3分）⊙O的内接正三角形和外切正方形的边长之比是（ ）
A．：2 B．1：1 C．1： D．：
【解答】解：如图所示：连接CO，过点O，作OE⊥CD于点E，
四边形AMNB是正方形，⊙O切AB于点C，△CFD是⊙O的内接正三角形，
设圆的外切正方形的边长为a，
则CO=BC=，∠COE=30°，
∴CE=•cos30°=，
∴这个圆的内接正三角形的边长为：2EC=，
∴：a=：2．
故选：A．
9．（3分）若函数，则当函数值y=8时，自变量x的值是（ ）
A．± B．4 C．±或4 D．4或﹣
【解答】解：把y=8代入函数，
先代入上边的方程得x=，
∵x≤2，x=不合题意舍去，故x=﹣；
再代入下边的方程x=4，
∵x＞2，故x=4，
综上，x的值为4或﹣．
故选：D．
10．（3分）下列事件中必然发生的是（ ）
A．抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上
B．掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数是3
C．通常情况下，抛出的篮球会下落
D．阴天就一定会下雨
【解答】解：A、B．D都可能发生，也可能不发生，是随机事件，不符合题意；
C、一定会发生，是必然事件，符合题意．
故选C．
11．（3分）如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（ ）
A．向右平移7格
B．以AB的垂直平分线为对称轴作轴对称变换，再以AB为对称轴作轴对称变换
C．绕AB的中点旋转180°，再以AB为对称轴作轴对称
D．以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格
【解答】解：观察可得：要使左边图形变化到右边图形，首先以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格．
故选D．
12．（3分）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程可能是（ ）
A．x2+3x﹣2=0 B．x2+3x+2=0 C．x2﹣3x+2=0 D．x2﹣2x+3=0
【解答】解：∵x1=1，x2=2，
∴x1+x2=3，x1x2=2，
∴以x1，x2为根的一元二次方程可为x2﹣3x+2=0．
故选C．]
13．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①a＜0；②b＜0；③c＞0；④2a+b=0；⑤a﹣b+c＜0，其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：如图，①抛物线开口方向向下，则a＜0．故①正确；
②∵对称轴x=﹣=1，∴b=﹣2a＞0，即b＞0．故②错误；
③∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0．故③正确；
④∵对称轴x=﹣=1，∴b+2a=0．故④正确；
⑤根据图示知，当x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0．故⑤正确．
综上所述，正确的说法是①③④⑤，共有4个．
故选A．
二、填空题（每题3分，共15分）
14．（3分）某种品牌的电脑，原价是7200元/台，经过连续两次降价后，现价是3528元/台，平均每次降价的百分率为 30% ．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，由题意，得
7200（1﹣x）2=3528，
解得：x1=1.7（舍去），x2=0.3．
故答案为：30%．
15．（3分）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行的时间x（单位：s）的函数解析式是y=﹣1.2x2+48x，则飞机着陆后滑行 480 m后才能停下来．
【解答】解：∵﹣1.2＜0，
∴当x=﹣=20时，y取得最大值，
此时， =480（m）．
故答案为480．
16．（3分）圆锥的母线长5cm，底面半径长3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是 216 度．
【解答】解：∵圆锥的底面半径长3cm，
∴圆锥的底面周长为6πcm，
设扇形的圆心角为n°，
∴=6π，
解得n=216°．
17．（3分）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD，AE⊥BC于E，若线段AE=5，则S四边形ABCD= 25 ．
【解答】解：过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，如图，
∵AE⊥BC，AF⊥CF，
∴∠AEC=∠CFA=90°，
而∠C=90°，
∴四边形AECF为矩形，
∴∠2+∠3=90°，
又∵∠BAD=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABE和△ADF中
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF=5，S△ABE=S△ADF，
∴四边形AECF是边长为5的正方形，
∴S四边形ABCD=S正方形AECF=52=25．
故答案为25．
18．（3分）在平面直角坐标系中，O为原点，⊙O的半径为7，直线y=mx﹣3m+4交⊙O于A、B两点，则线段AB的最小值为 4 ．
【解答】解：∵直线y=mx﹣3m+4必过点D（3，4），
∴最短的弦AB是过点D且与该圆直径垂直的弦，
∵点D的坐标是（3，4），
∴OD=5，
∵⊙O的半径为7，
∴C（7，0），
∴OA=OC=7，
∴AD===2
∴AB的长的最小值为4，
故答案为：4．
三、解答题（共46分）
19．（6分）解方程： =1﹣．
【解答】解：去分母得：2x=x﹣2+1，
移项合并得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解．
20．（6分）如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（若指针指在分界线时重转）．
（1）请你用树状图或列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果；
（2）求每次游戏结束得到的一组数恰好是方程x2﹣3x+2=0的解的概率．
【解答】解：（1）列表如下：
1
2
3
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（2）所有等可能的情况数为9种，其中是x2﹣3x+2=0的解的为（1，2），（2，1）共2种，
则P是方程解=．
21．（6分）某商店在销售中发现：“米奇”牌童装平均每天可售出20件，每件赢利40元．为了迎“六一”儿童节，商场决定适当地降价，以扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
【解答】解：设每件童装应降价x元，根据题意列方程得，
（40﹣x）（20+2x）=1200，
解得x1=20，x2=10
∵增加盈利，减少库存，
∴x=10（舍去），
答：每件童装降价20元．
22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将△ABC向上平移3个单位后，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标．
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，请画出旋转后的△A2B2C2，并求点B所经过的路径长（结果保留x）
【解答】解：（1）如图所示：
A1的坐标为：（﹣3，6）；
（2）如图所示：
∵BO==，
∴==π．
23．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）当Rt△ABC的斜边长a为，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．
【解答】（1）证明：△=[﹣（2k+1）]2﹣4（4k﹣3）=4k2﹣12k+13=（2k﹣3）2+4．
∵（2k﹣3）2≥0，
∴（2k﹣3）2+4＞0，即△＞0，
∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵b、c是方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0的两个根，
∴b+c=2k+1，bc=4k﹣3．
∵a2=b2+c2，a=，
∴k2﹣k﹣6=0，
∴k1=3，k2=﹣2．
∵b、c均为正数，
∴4k﹣3＞0，
∴k=3，此时原方程为x2﹣7x+9=0，
∴b+c=7，
∴△ABC的周长为7+．
24．（6分）如图，△ABC内接于半圆，AB为直径，过点A作直线MN，若∠MAC=∠ABC
（1）求证：MN是该圆的切线
（2）设D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F，求证：FD=FG．
【解答】证明：（1）∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠CAB=90°，
而∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB=90°，即∠MAB=90°，
∴MN是半圆的切线；
（2）如图
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
而DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠1+∠5=90°，∠3+∠4=90°，
∵D是弧AC的中点，即弧CD=弧DA，
∴∠3=∠5，
∴∠1=∠4，
而∠2=∠4，
∴∠1=∠2，
∴FD=FG．
25．（9分）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1．
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；
（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），
∴代入二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1，得出：m2﹣1=0，
解得：m=±1，
∴二次函数的解析式为：y=x2﹣2x或y=x2+2x；
（2）∵m=2，
∴二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1得：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点为：D（2，﹣1），
当x=0时，y=3，
∴C点坐标为：（0，3），
∴C（0，3）、D（2，﹣1）；
（3）当P、C、D共线时PC+PD最短，
过点D作DE⊥y轴于点E，
∵PO∥DE，
∴=，
∴=，
解得：PO=，
∴PC+PD最短时，P点的坐标为：P（，0）．
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