2017-2018学年广东省汕头市潮南区胪岗镇九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．（3分）下列的一元二次方程有实数根的是（ ）
A．x2﹣x+1=0 B．x2=﹣x C．x2﹣2x+4=0 D．（x﹣2）2+1=0
2．（3分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）已知点P关于x轴的对称点P1的坐标是（2，1），那么点P关于原点的对称点P2的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（2，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）
4．（3分）已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离是4，则⊙O与直线l的关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
5．（3分）方程x2=4的解为（ ）
A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=4，x2=﹣4 D．x1=2，x2=﹣2
6．（3分）如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠A=25°，则∠D的度数为（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
7．（3分）已知某扇形的圆心角为60°，半径为1，则该扇形的弧长为（ ）
A．π B． C． D．
8．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个根，则代数式m2﹣m+3=（ ）
A．﹣2 B．1 C．0 D．5
9．（3分）如图，⊙A，⊙B，⊙C的半径都是2cm，则图中三个扇形（即阴影部分）面积之和是（ ）
A．2π B．π C． D．6π
10．（3分）如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，计算耕地的面积为（ ）
A．600m2 B．551m2 C．550m2 D．500m2
二、填空题（每小题3分，共20分，请把下列各题的正确答案填写在横线上。）
11．（3分）抛物线y=（x+1）2+2的对称轴为 ，顶点坐标是 ．
12．（3分）如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为 ．
13．（3分）袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有 个．
14．（3分）若一个圆锥的底面圆半径为3cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是 cm．
15．（3分）已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是 ．
16．（3分）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F，若∠ACF=64°，则∠E= ．
三、解答题（每小题6分，共18分）
17．（6分）用配方法解方程：x2﹣4x+1=0．
18．（6分）一个不透明的盒子中装有2枚黑色的棋子和1枚白色的棋子，每枚棋子除了颜色外其余均相同．从盒中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回并搅匀，再从盒子中随机摸出一枚棋子，记下颜色，用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的棋子颜色不同的概率．
19．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△DCE是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时B、C、E在同一直线上．
（1）旋转角的大小；
（2）若AB=10，AC=8，求BE的长．
四、解答题（每小题7分，共21分）
20．（7分）如图，△ABC内接于⊙O．
（1）作∠B的平分线与⊙
O交于点D（用尺规作图，不用写作法，但要保留作图痕迹）；
（2）在（1）中，连接AD，若∠BAC=60°，∠C=66°，求∠DAC的大小．
21．（7分）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2，求k的值．
22．（7分）在国家的宏观调控下，某市的某商品价格由去年10月份的14000元下降到12月份的11340元．
（1）求11、12两月平均每月降价的百分率是多少？
（2）如果该商品继续回落，按此降价的百分率，你预测到今年2月份某市该商品价格是否会跌破10000元/m2？请说明理由．
五、解答题（每小题9分，共27分）
23．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，BC是直径，⊙O的切线PA交CB的延长线于点P，OE∥AC交AB于点F，交PA于点E，连接BE．
（1）判断BE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若⊙O的半径为4，BE=3，求AB的长．
24．（9分）某商场销售一款成本为40元的可控温杯，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣x+120．
（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；
（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
25．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+4x+c与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E，B，点B坐标为（5，0）．
（1）求二次函数解析式及顶点坐标；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积．
]
2017-2018学年广东省汕头市潮南区胪岗镇九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．（3分）下列的一元二次方程有实数根的是（ ）
A．x2﹣x+1=0 B．x2=﹣x C．x2﹣2x+4=0 D．（x﹣2）2+1=0
【解答】解：A、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，则该方程无实数根，故本选项错误；
B、△=12﹣4×1×0=1＞0，则该方程有实数根，故本选项正确；
C、△=（﹣2）2﹣4×1×4=﹣12＜0，则该方程无实数根，故本选项错误；
D、由原方程得到（x﹣2）2=﹣1，而（x﹣2）2≥0，则该方程无实数根，故本选项错误；
故选：B．
2．（3分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
3．（3分）已知点P关于x轴的对称点P1的坐标是（2，1），那么点P关于原点的对称点P2的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（2，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）
【解答】解：∵点P关于x轴的对称点P1的坐标是（2，1），
∴P（2，﹣1），
∵点P关于原点的对称点P2，
∴P2（﹣2，1）．
故选D．
4．（3分）已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离是4，则⊙O与直线l的关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
【解答】解：∵圆心O到直线l的距离是4，大于⊙O的半径为2，
∴直线l与⊙O相离．
故选C．
5．（3分）方程x2=4的解为（ ）
A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=4，x2=﹣4 D．x1=2，x2=﹣2
【解答】解：x2=4，
x1=2，x2=2，
故选D．
6．（3分）如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠A=25°，则∠D的度数为（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【解答】解：连接OC．
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA=25°．
∴∠DOC=∠A+∠ACO=50°．
∵CD是⊙的切线，
∴∠OCD=90°．
∴∠D=180°﹣90°﹣50°=40°．
故选C
7．（3分）已知某扇形的圆心角为60°，半径为1，则该扇形的弧长为（ ）
A．π B． C． D．
【解答】解：弧长l=
=．
故选C．
8．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个根，则代数式m2﹣m+3=（ ）
A．﹣2 B．1 C．0 D．5
【解答】解：把x=m代入方程x2﹣x﹣2=0可得：m2﹣m﹣2=0，
即m2﹣m=2，
∴m2﹣m+3=2+3=5；
故选D．
9．（3分）如图，⊙A，⊙B，⊙C的半径都是2cm，则图中三个扇形（即阴影部分）面积之和是（ ）
A．2π B．π C． D．6π
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴阴影部分的面积==2π．
故选A．
10．（3分）如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，计算耕地的面积为（ ）
A．600m2 B．551m2 C．550m2 D．500m2
【解答】解：30×20﹣30×1﹣20×1+1×1
=600﹣30﹣20+1
=551（平方米），
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共20分，请把下列各题的正确答案填写在横线上。）
11．（3分）抛物线y=（x+1）2+2的对称轴为 直线x=﹣1 ，顶点坐标是 （﹣1，2） ．
【解答】解：∵抛物线y=（x+1）2+2中a=1＞0，
∴抛物线开口向下．对称轴为直线x=﹣1，顶点坐标为（﹣1，2）．
故答案为：直线x=﹣1，（﹣1，2）．
12．（3分）如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△
OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为 （，2） ．
【解答】解：∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，
∴4=4a，解得a=1，
∴抛物线为y=x2，
∵点A（﹣2，4），
∴B（﹣2，0），
∴OB=2，
∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，
∴D点在y轴上，且OD=OB=2，
∴D（0，2），
∵DC⊥OD，
∴DC∥x轴，
∴P点的纵坐标为2，
代入y=x2，得2=x2，
解得x=±，
∴P（，2）．
故答案为（，2）．
13．（3分）袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有 2 个．
【解答】解：∵袋中装有6个黑球和n个白球，
∴袋中一共有球（6+n）个，
∵从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为，
∴=，
解得：n=2．
故答案为：2．
14．（3分）若一个圆锥的底面圆半径为3cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是 9 cm．
【解答】解：设母线长为l，则=2π×3
解得：l=9．
故答案为：9．
15．（3分）已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是 3 ．
【解答】解：∵α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根；
∴α+β=﹣2m﹣3，α•β=m2；
∴+===﹣1；
∴m2﹣2m﹣3=0；
解得m=3或m=﹣1；
∵一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有两个不相等的实数根；
∴△=（2m+3）2﹣4×1×m2=12m+9＞0；
∴m＞﹣；
∴m=﹣1不合题意舍去；
∴m=3．
16．（3分）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F，若∠ACF=64°，则∠E= 52° ．
【解答】解：连接OF，
∵EF是⊙O切线，
∴OF⊥EF，
∵AB是直径，AB经过CD中点H，
∴OH⊥EH，
又∵∠AOF=2∠ACF=128°，
在四边形EFOH中，∵∠OFE+∠OHE=180°
∴∠E=180°﹣∠AOF=180°﹣128°=52°．
三、解答题（每小题6分，共18分）
17．（6分）用配方法解方程：x2﹣4x+1=0．
【解答】解：x2﹣4x+1=0，
x2﹣4x=﹣1，
x2﹣4x+4=﹣1+4，
（x﹣2）2=3，
x﹣2=，
x1=2+，x2=2﹣．
18．（6分）一个不透明的盒子中装有2枚
黑色的棋子和1枚白色的棋子，每枚棋子除了颜色外其余均相同．从盒中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回并搅匀，再从盒子中随机摸出一枚棋子，记下颜色，用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的棋子颜色不同的概率．
【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的棋子颜色不同的有4种情况，
∴两次摸出的棋子颜色不同的概率为：．
19．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△DCE是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时B、C、E在同一直线上．
（1）旋转角的大小；
（2）若AB=10，AC=8，求BE的长．
【解答】解：（1）∵△DCE是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时点B、C、E在同一直线上，
∴∠ACE=90°，即旋转角为90°，
（2）在Rt△ABC中，
∵AB=10，AC=8，
∴BC==6，
∵△ABC绕着点C旋转得到△DCE，
∴CE=CA=8，
∴BE=BC+CE=6+8=14
四、解答题（每小题7分，共21分）
20．（7分）如图，△ABC内接于⊙O．
（1）作∠B的平分线与⊙O交于点D（用尺规作图，不用写作法，但要保留作图痕迹）；
（2）在（1）中，连接AD，若∠BAC=60°，∠C=66°，求∠DAC的大小．
【解答】解：（1）如图所示，BD即为所求．
（2）∵∠BAC=60°、∠C=66°，
∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠C=54°，
由作图可知BD平分∠ABC，
∴∠DAC=∠DBC=∠ABC=27°．
21．（7分）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2，求k的值．
【解答】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，
解得：k＞，
即实数k的取值范围是k＞；
（2）∵根据根与系数的关系得：x1+x2=﹣（2k+1），x1•x2=k2+1，
又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2，
∴﹣（2k+1）=﹣（k2+1），
解得：k1=0，k2=2，
∵k＞，
∴k只能是2．
22．（7分）在国家的宏观调控下，某市的某商品价格由去年10月份的14000元下降到12月份的11340元．
（1）求11、12两月平均每月降价的百分率是多少？
（2）如果该商品继续回落，按此降价的百分率，你预测到今年2月份某市该商品价格是否会跌破10000元/m2？请说明理由．
【解答】解：（1）设11、12两月平均每月降价的百分率是x，
则11月份的成交价是：14000（1﹣x），
12月份的成交价是：14000（1﹣x）2
∴14000（1﹣x）2=11340，
∴（1﹣x）2=0.81，
∴x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．
答：11、12两月平均每月降价的百分率是10%；
（2）会跌破10000元/m2．
如果按此降价的百分率继续回落，估计今年2月份该市的商品房成交均价为：
11340（1﹣x）2=11340×0.81=9184.5＜10000．
由此可知今年2月份该市的商品房成交均价会跌破10000元/m2．
五、解答题（每小题9分，共27分）
23．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，BC是直径，⊙O的切线PA交CB的延长线于点P，OE∥AC交AB于点F，交PA于点E，连接BE．
（1）判断BE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若⊙O的半径为4，BE=3，求AB的长．
【解答】解：（1）BE是⊙O的切线．
理由：如图连接OA．
∵PA是切线，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP=90°，
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
∵OE∥AC，
∴∠OFB=∠BAC=90°，
∴OE⊥AB，
∴BF=FA，
∵OB=OA，
∴∠EOB=∠EOA，
在△EOB和△EOA中，
，
∴△EOB≌△EOA，
∴∠OBE=∠OAE=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE是⊙O的切线．
（2）由（1）可知AB=2BF，
在Rt△BEO中，∵∠OBE=90°，OB=8，BE=6，
∴OE==5，
∵•BE•OB=•OE•BF，
∴BF=，
∴AB=2BF=．
24．（9分）某商场销售一款成本为40元的可控温杯，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣x+120．
（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；
（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）根据题意得S=y（x﹣40）
=（﹣x+120）（x﹣40）
=﹣x2+160x﹣4800；
（2）∵S=﹣x2+160x﹣4800=﹣（x﹣80）2+1600，
∴当x=80时，S取得最大值，最大值为1600，
答：当销售单价定为80时，该公司每天获取的利润最大，最大利润是1600元．
25．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+4x+c与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E，B，点B坐标为（5，0）．
（1）求二次函数解析式及顶点坐标；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积．
【解答】解：（1）把点A（0，5），点B坐标为（5，0）代入抛物线y=ax2+4x+c中，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，
∴顶点坐标为（2，9）；
（2）设直线AB的解析式为：y=mx+n，
∵A（0，5），B（5，0），
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y=﹣x+5，
设P（x，﹣x2+4x+5），则D（x，﹣x+5），
∴PD=（﹣x2+4x+5）﹣（﹣x+5）=﹣x2+5x，
∵点C在抛物线上，且纵坐标为5，
∴C（4，5），
∴AC=4，
∴S四边形APCD=AC•PD=×4（﹣x2+5x）=﹣2x2+10x=﹣2（x﹣）2+，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，
∴当x=时，S有最大值为，
此时P（，）．
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