高二数学（文科）试题
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
2.双曲线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3.“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的（ ）
A．2 B．3 C. 4 D．5
5.把黑、白、红、蓝4张纸牌随机分组甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得蓝牌”与事件“乙分得蓝牌”是 （ ）
A． 不可能事件 B．对立事件 C. 互斥但不对立事件 D．以上都不对
6.如图所示的茎叶图，记录了某次歌曲大赛上七位评委为甲选手打出的分数，若去掉一个最高分和一个最低分，则所剩数据的众数和中位数分别为（ ）
A．83，84 B．83，85 C. 84，83 D．84，84
7.已知变量和之间的几组数据如下表：（ ）
4
6
8
10
12
1
2
3
5
6
若根据上表数据所得线性回归方程为，则（ ）
A．-1.6 B．-1.7 C. -1.8 D．-1.9
8.命题“是偶数，则都是偶数”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C. 2 D．3
9.曲线与曲线的（ ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C. 离心率相等 D．焦距相等
10.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为45秒．若一名行人来到路口遇到红灯，则至少需要等待20秒才出现绿灯的概率为（ ）
A． B． C. D．
11.已知命题3能被2整除，命题49是7的倍数，则下列命题中的假命题是（ ）
A． B． C. D．
12. 已知双曲线的两个焦点分别为，离心率为2，抛物线的准线过双曲线的一个焦点，若以线段
为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，则（ ）
A．5 B．6 C. 7 D．8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13.设抛物线上一点到其焦点的距离为3，则点的纵坐标为 ．
14.已知函数在处取得极小值，则实数的值为 ．
15.某校高三年级共有800名学生，现采用系统抽样的方法，抽取25名学生做问卷调查，将这800名学生按1，2，．．．，800随机编号，按编号顺序平均分组．若从第5组抽取的编号为136，则从第2组中抽取的编号为 ．
16.若函数在定义域内某区间I上是增函数，且在I上是减函数，则称的在I上是“弱增函数”．已知函数的上是“弱增函数”，则实数的值为____________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知抛物线过点．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线与抛物线相交于两点，求的值．
18.根据我国颁布的《环境空气质量指数（）技术规定》 ：空气质量指数划分为、、、、和大于300共六个等级，对应的空气质量指数的六个等级，指数越大，等级越高 ，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显．专家建议：当空气质量指数不大于150时，可以进行户外活动；当空气质量指数为151及以上时，不适合进行旅游等户外活动，下表是某市2017年11月中旬的空气质量指数情况：
时间
11日
12日
13日
14日
15日
16日
17日
18日
19日
20日
142
141
125
249
129
87
68
106
238
270
（1）该市某市民在上述10天中随机选取1天进行户外活动，求该市民选取的这一天恰好不适合进行户外活动的概率；
（2）一名外地游客计划在上述10天中到市连续旅游2天求这10天中适合他旅游的概率．
19.已知函数在点处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）求函数在区间上的最大值．
20. 联合国教科文组织规定，每年的4月23日是“世界读书日”．某校研究生学习小组为了解本校学生的阅读情况，随机调查了本校400名学生在这一天的阅读时间（单位：分钟），将时间数据分成5组：，并整理得到如下频率分布直方图．
（1）求的值；
（2）试估计该学校所有学生在这一天的平均阅读时间；
（3）若用分层抽样的方法从这400名学生中抽取50人参加交流会，则在阅读时间为的两组中分别抽取多少人？
21.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过点的直线与椭圆相交于两点，且的周长为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）若经过原点的直线与椭圆相交于两点，且，试判断是否为定值？若为定值，试求出该定值；否则，请说明理由．
22.已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
试卷答案
一、选择题
1-5: CABBC 6-10: ACCDB11、12：DB
二、填空题
13. 2 14. 1 15. 40 16. 4
三、解答题
17.解：（1）因为点在抛物线上，所以，解得，
故抛物线的方程为；
（2）设，由消去得，
则，所以．
18.解：（1）从上述10天中任选1天，所构成的基本事件有：，共10个，
设“该市民选取的这一天恰好不适合进行户外活动”为事件，则事件包含的基本事件有：，共3个．所以；
（2）从这10天中随机选取连续2天，所构成的基本事件有：
，共9个，
设“外地游客在该市适合连续旅游2天”为事件，则事件包含的基本事件有：
，共5个，则．
19.解：（1）由已知得，
因为在点处的切线方程为，
所以，即，①
，即，②
由①②解得；
（2）由（1）知，所以，
令，得或，
当变化时，的变化情况如下表：
-3
0
2
3
+
0
-
0
+
单调递增
单调递减
2
由上表可知，，
所以函数在区间上的最大值为．
20.解：（1）由已知，得，解得；
（2）由样本的频率分布直方图，估计该学校所有学生在这一天的平均阅读时间为：
（分钟）．
（3）阅读时间在分钟的人数为，
阅读时间在分钟的人数为，
所以阅读时间在分钟的应抽取（人），
阅读时间在分钟的应抽取（人）．
21.解：（1）由题意知，的周长为，所以，
又椭圆的离心率为，所以，
所以，故椭圆的方程为；
（2）①当直线在斜率不存在时，其方程为，代入椭圆方程得，
不妨设，则，
因为，所以直线的方程为，代入椭圆方程得，
不妨设，则，
所以；
②当直线的斜率存在时，设其方程为，
由消去得，
则，
，则，
因为，所以直线的方程为，设，
由消去得，则，
则，
所以，综上所述，为定值．
22.解：（1）当时，，，
由，解得，故函数在区间上单调递减；
由，解得或，
故函数在区间上单调递增，
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是；
（2）不等式，即，所以对任意的，不等式恒成立，
可转化为不等式在上恒成立，
令，
所以，当时，，
所以在上单调递减，
所以，即，
故在上单调递减，
则，
故不等式恒成立，只需，即．
所以实数的取值范围是．
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