高二数学（理科）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.命题“”的否定可以写成（ ）
A．若，则 B．
C． D．
2. 某校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算采用系统抽样方法从高一年级800名学生中抽取40名进行调查．现将800名学生从1到800进行编号，在1-20中随机抽取一个号码，如果抽到的是7号，则从41-60这20个数中应抽取的号码是（ ）
A． 45 B．46 C． 47 D．48
3. 把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）
A．对立事件 B．互斥但不对立事件 C．不可能事件 D． 以上都不对
4. 从甲、乙、丙、丁四人中，随机选取两名作为代表，则甲被选中的概率为（ ）
A． B． C. D．
5.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个学习小组各5名同学在某次考试中的数学成绩，若这两组数据的中位数相等，则和的值分别为 （ ）
A． 3，2 B．2，3 C. 2，4 D．3，4
6. 执行如图所示的程序框图，输出的的值为（ ）
A． B． C. D．
7.“ ”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8. 一组数据的平均数是3.9，方差是0.96，若将这组数据中的每一个数据都乘以10再加1，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ）
A．40，96 B．39，96 C. 40，9.6 D．39，9.6
9. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是（ ）
A． B．
C. D．
10. 已知命题；，则下列命题中为假命题的是（ ）
A． B． C. D．
11. 如图，分别是四面体的边的中点，是的中点，设，用表示，则（ ）
A． B．
C. D．
12. 已知双曲线的焦点为，其中为抛物线的焦点，设与的一个交点为，若，则的离心率为（ ）
A． B． C. D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13.在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为 ．
14.某学校共有师生3200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为100的样本．已知从学生中抽取的人数为95，那么该学校的教师人数是 ．
15.设双曲线的一条渐近线为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为 ．
16.如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的余弦值为____________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知，若是的必要条件，求实数的取值范围．
18. 统计表明，家庭的月理财投入（单位：千元）与月收入（单位：千元）之间具有线性相关关系．某银行随机抽取5个家庭，获得第（）个家庭的月理财投入与月收入的数据资料，经计算得．
（1）求关于的回归方程；
（2）判断与之间是正相关还是负相关；
（3）若某家庭月理财投入为5千元，预测该家庭的月收入．
附：回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：
，其中为样本平均值．
19.广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，也是城市精神文明建设成果的一个重要象征．2017年某交社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们的年龄分成6组后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）根据广场舞者年龄的频率分布直方图，估计广场舞者的平均年龄；
（2）若从年龄在内的广场舞者中任取2名，求选中的两人中至少有一人年龄在内的概率．
20. 已知动点到定点的距离与到定直线的距离相等，设动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线交曲线于两点，证明：．
21. 如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱平面，且．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
22.已知椭圆的离心率是，短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线与椭圆交于两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当实数变化时，求的最大值；
（3）求面积的最大值．
试卷答案
一、选择题
1-5: BCBAB 6-10: CCADA 11、12：DB
二、填空题
13. 14. 160 15. 16.
三、解答题
17.解：由得，，
所以或，
又因为，所以或，
因为是的必要条件，
所以（列对一个式子得2分）
解得，故实数的取值范围是．
18.解：（1）由题意知，，
又，，
故，，
故所求回归方程为；
（2）由于的值随值的增加而增加，故与之间是正相关；
（3）将代入回归方程得千元，
故若该家庭月理财投入为5千元，则该家庭的月收入约为13.7千元．
19.解：（1）广场舞者的平均年龄为所以广场舞者的平均年龄大约为54岁；
（2）记事件为“从年龄在内的广场舞者中任取2名，选中的两人中至少有一人年龄在内”，
由直方图可知，年龄在内的有2人，分别记为，在内的有4人，分别记为，现从这6人中任选两人，所有可能基本事件有：
，
，共15个，
事件包含的基本事件有共9个，所以，故从年龄在内的广场舞者中任取2名，选中的两人中至少有一人年龄在内的概率为．
20.解：（1）由题意知，动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程是；
（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
联立，解得或，
不妨设，，所以；
（2）当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的方程为，
联立，消去整理得，
，
设，则，，
从而，所以，综上所述，．
21.解：（1）因为底面是正方形，所以，
因为侧棱平面，平面，所以，
又因为平面平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面；
（2）
设，则平面，所以，
过作，垂足为，连接，则平面，
又因为平面，所以，所以为二面角的平面角．
在中，为中点，，
又因为，
所以，所以．
故二面角的余弦值为．
22.解：（1）由题意得，得，从而，
所以椭圆的方程为；
（2）设，联立消去，整理得，
由题意知，
所以，，
所以，
所以当且仅当时，有最大值；
（3）点到直线的距离为，从而的面积为
，
（当且仅当，即时，等号成立．）
所以面积的最大值为．
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