高二数学（理科）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
2.抛物线的焦点坐标是 （ ）
A． B． C． D．
3. 过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
4.若变量满足约束条件，则的最大值为 （ ）
A． 1 B．2 C. 3 D．4
5.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：），可知此几何体的体积是 （ ）
A． B． C. D．
6. 圆与圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C. 外切 D．相离
7.“”是“方程表示双曲线”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件
8. 过点引直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（ ）
A． B． C. D．
9. 设是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．且，则 B．且，则
C. ，则 D．，则
10. 设分别是双曲线的左、右焦点．圆与双曲线的右支交于点，且，则双曲线离心率为（ ）
A． B． C. D．
11. 在正方体中，分别是中点，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C. D．
12. 已知，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点中，若，则三角形面积为（ ）
A． B． C. 4 D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在空间直角坐标系中，正方体的顶点的坐标为，其中心
的坐标为，则该正方体的棱长等于 ．
14.某隧道的拱线设计半个椭圆的形状，最大拱高为6米（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽至少应是 米．
15.已知是球的球面上两点，为该球面上的动点．若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为 ．
16.已知圆，圆，若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，使得，则实数的最大值与最小值之和为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知圆，直线．
（1）当为何值时，直线与圆相切；
（2）当直线与圆相交于两点，且时，求直线的方程．
18. 如图，已知所在的平面，是的直径，是上一点，且是中点，为中点．
（1）求证：面；
（2）求证：面；
（3）求三棱锥的体积．
19. 已知命题直线和直线垂直；命题三条直线将平面划分为六部分．若
为真命题，求实数的取值集合．
20. 已知四棱锥，四边形是正方形，．
（1）证明：平面平面；
（2）若为的中点，求二面角的余弦值．
21.已知抛物线上一点到其焦点的距离为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与圆切于点，与抛物线切于点，求的面积．
22.椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线与轴平行时，直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）在轴上是否存在异于点的定点，使得直线变化时，总有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷答案
一、选择题
1-5:BDCCB 6-10: AABBD 11、12：CA
二、填空题
13. 14. 32 15. 16. 4
三、解答题
17.解：将圆的方程化成标准方程为，
则此圆的圆心为，半径为2．
（1）若直线与圆相切，则有，解得；
（2）过圆心作，则根据题意和圆的性质，
得，解得或，故所求直线方程为或．
18.解：（1）证明：在三角形中，是中点，为中点，
∴，平面平面，∴面；
（2）证明：∵面，平面，∴，
又∵是的直径，∴，
又，∴面，
∵，∴面；
（3）∵，∴，
在中，∵，∴，
∴．
19.解：真：，，∴或，
真：∵与不平行，
则与平行或与平行或三条直线交于一点，
若与平行，由得，
若与平行，由得，
若三条直线交于一点，由，得，
代入得，
∴真，或或，
∵真，∴至少有一个为真，
∴的取值集合为．
20.解：（1）证明：∵，
∴，即，
又∵为正方形，∴，
∵，
∴平面，∵平面，∴平面平面；
（2）
解：设的中点为，∵，∴，
由（1）可知平面平面，且平面平面，
∴平面，
在平面内，过作直线，则两两垂直．
以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，
∴，
设平面的法向量为，
则，，即，取，
设平面的法向量为，
则，，即，取，
，由图可知，二面角的余弦值为．
21.解：（1）∵在抛物线上，∴，
由题意可知，，解得，
所以抛物线的方程为；
（2）设直线方程为：，∵与圆相切，
∴，整理得，①
依题意直线与抛物线相切，
由得 （*）
②
由①②解得或，
此时方程（*）化为，解得，∴点，
∴，
直线为：或，
到的距离为，
∴．
22.解：（1）∵，∴，
椭圆方程化为：，由题意知，椭圆过点，
∴，解得，
所以椭圆的方程为：；
（2）当直线斜率存在时，设直线方程：，
由得，，
设，
假设存在定点符合题意，∵，∴，
∴
，
∵上式对任意实数恒等于零，∴，即，∴，
当直线斜率不存在时，两点分别为椭圆的上下顶点，
显然此时，综上，存在定点满足题意．
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