衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷分科综合卷理科数学（二）试题Word版含答案.doc

‎2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 理数(二)‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知，且是虚数单位，，则（ ）‎ A．4 B． C． D．‎ ‎3.已知为直线的倾斜角，若，则直线的斜率为( )‎ A．3 B．‎-4 C． D． ‎ ‎4.双曲线的渐近线与抛物线相切，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.袋中装有4个红球、3个白球，甲、乙按先后次序无放回地各摸取一球，在甲摸到了白球的条件下，乙摸到白球的概率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.《算法统宗》是中国古代数学名著，由程大位所著，其中记载这样一首诗：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑！其含义为：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问究竟甜、苦果各有几个？现有如图所示的程序框图，输入分别代表钱数和果子个数，则符合输出值的为（ ）‎ A．为甜果数343 B．为苦果数343 ‎ C.为甜果数657 D．为苦果数657‎ ‎7.在区间内的所有零点之和为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知恒成立，若为真命题，则实数的最小值为（ ）‎ A．2 B．‎3 C. 4 D．5‎ ‎9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.如图为正方体，动点从点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到，运动过程种，点与平面的距离保持不变，运动的路程与之间满足函数关系，则此函数图象大致是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.抛物线的准线交轴于点，过点的直线交抛物线于两点，为抛物线的焦点，若，则直线的斜率为（ ）‎ A．2 B． C. D．‎ ‎12.已知函数，其中为自然对数的底数，若有两个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若向量,是椭圆上的动点，则的最小值为 ．‎ ‎14.已知满足，则的取值范围是 ．‎ ‎15.中，角的对边分别为，当最大时， ．‎ ‎16.3位逻辑学家分配10枚金币，因为都对自己的逻辑能力很自信，决定按以下方案分配：‎ ‎(1)抽签确定各人序号：1，2，3；‎ ‎(2)1号提出分配方案，然后其余各人进行表决，如果方案得到不少于半数的人同意（提出方案的人默认同意自己方案），就按照他的方案进行分配，否则1好只得到2枚金币，然后退出分配与表决；‎ ‎(3)再由2号提出方案，剩余各人进行表决，当且仅当不少于半数的人同意时(提出方案的人默认同意自己方案），才会按照他的提案进行分配，否则也将得到2枚金币，然后退出分配与表决；‎ ‎(4)最后剩的金币都给3号.‎ 每一位逻辑学家都能够进行严密的逻辑推理，并能很理智的判断自身的得失，1号为得到最多的金币，提出的分配方案中1号、2号、3号所得金币的数量分别为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列满足，且.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)求的值.‎ ‎18. 某校高三年级有1000人，某次考试不同成绩段的人数,且所有得分都是整数.‎ ‎(1)求全班平均成绩；‎ ‎(2)计算得分超过141的人数；（精确到整数）‎ ‎(3)甲同学每次考试进入年级前100名的概率是，若本学期有4次考试，表示进入前100名的次数，写出的分布列，并求期望与方差.‎ 参考数据：.‎ ‎19已知在直角梯形中，，，将沿折起至，使二面角为直角.‎ ‎(1)求证：平面平面；‎ ‎(2)若点满足,，当二面角为45°时，求的值.‎ ‎20.如图，矩形中，,且,、交于点.‎ ‎(1)若点的轨迹是曲线的一部分，曲线关于轴、轴、原点都对称，求曲线的轨迹方程；‎ ‎(2)过点作曲线的两条互相垂直的弦，四边形的面积为，探究 是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由.‎ ‎21.已知函数，其中为自然对数的底数.‎ ‎(1)若有极值点，求证：必有一个极值点在区间内；‎ ‎(2)求证：对任意，有.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2)在平面直角坐标系中，将曲线的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线，过点作直线，交曲线于两点，若，求直线的斜率.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知，且.‎ ‎（1)的最小值；‎ ‎(2)证明：.‎ ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 理数(二)答案 一、选择题 ‎1-5:BCDDB 6-10: BCABC 11、12：DC 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.9,0,1‎ 三、解答题 ‎17.解：(1)当时，‎ 由，‎ 得 ‎，‎ 两式相减得.‎ 由，得，‎ 故为等差数列，公差为2.‎ 当时，由，‎ 所以.‎ ‎(2)易知，‎ ‎，‎ 两式相减得 ‎，‎ 所以.‎ ‎18.解：(1)由不同成绩段的人数服从正态分布，可知平均成绩.‎ ‎(2)‎ ‎,‎ 故141分以上的人数为人.‎ ‎(3)的取值为0，1，2，3，4，‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 期望，‎ 方差.‎ ‎19.解：(1)梯形中，‎ ‎∵∴.‎ 又∵,‎ ‎∴,∴.‎ ‎∴.‎ 折起后，∵二面角为直角，‎ ‎∴平面平面.‎ 又平面平面,‎ ‎∴平面.‎ 又平面，‎ ‎∴.‎ 又∵,‎ ‎∴平面.‎ 又∵平面，∴平面平面.‎ ‎(2)由(1)知，平面，∴以为原点，方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 则,‎ 设，由,‎ 得，得.‎ 取线段的中点，连结，‎ 则,‎ ‎∵,∴.‎ 又∵,‎ ‎∴平面.‎ ‎∴平面的一个法向量为.‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则 取，则.‎ ‎∴，‎ 即或.‎ ‎∵，∴.‎ ‎20.解：(1)设，‎ 由,‎ 求得,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴，‎ 整理得.‎ 可知点的轨迹为第二象限的椭圆，由对称性可知曲线的轨迹方程为.‎ (2) 设，当直线斜率存在且不为零时，设直线的斜率为，把代入椭圆方程，化简整理得.‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∵,‎ ‎∴把换成，即得.‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ 当直线斜率不存在或为零时，‎ ‎.‎ ‎∴为定值.‎ ‎21.解：(1)易知，‎ 设，‎ 若有极值点，‎ 则有两个不相等的实根，‎ ‎∴，‎ ‎∴或，‎ 此时，‎ ‎，‎ ‎∴有两个零点，且有一个在区间内.‎ 即有一个极值点在区间内.‎ ‎(2)由，得，‎ 得，‎ ‎.‎ ‎∴只需证.‎ 令，‎ 则.‎ ‎∴当时，为增函数，‎ ‎∴，即.‎ ‎∴只需证，‎ 即证，‎ 令 则，‎ ‎∴当时，为增函数，‎ ‎∴，即.‎ ‎∴原不等式成立.‎ ‎22.解：(1)由，得，‎ 将，‎ 代入整理得.‎ ‎(2)把中的换成，‎ 即得曲线的直角坐标方程.‎ 设直线的参数方程为（为参数，），‎ 代入曲线的方程，整理得 ‎，‎ ‎.‎ 设两点所对应的参数分别为，‎ 则为上述方程的两个根.‎ 由，‎ 得同向共线.‎ 故由 ‎.‎ 由，得，‎ 即直线的斜率为.‎ ‎23.解：(1)由柯西不等式，得，‎ 当且仅当时，取等号.‎ 所以的最小值为9.‎ ‎(2)由，‎ 得.‎ 同理得，‎ ‎.‎ 三式相加得，‎ ‎∴，‎ 当且仅当时，取等号.‎