天一大联考
2017-2018学年高二年级阶段性测试（二）
数学（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
2.抛物线的焦点坐标为（ )
A． B． C． D．
3.“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A.充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4.在等差数列中，已知，则该数列前13项和（ ）
A．42 B．26 C.52 D．104
5.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）
A．-6 B．3 C. 4 D．9
6.在中，，则边上的高为（ ）
A． B． C. D．
7.已知正项等比数列中，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C. D．
8.函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C.3 D．4
9.椭圆的长轴长、短轴长和焦距依次排列构成一个等差数列，则该椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C. 或 D．或
10.设是圆上一动点，点的坐标为，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C. D．
11.已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若,则（ ）
A． B．4 C. 4或 D.3或4
12.若函数是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在等比数列中，若，则 ．
14.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，则 ．
15.曲线在处的切线方程是 ．
16.若实数满足，则的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知命题，使得成立；命题抛物线的焦点在直线的右侧.
(Ⅰ)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(Ⅱ)若命题“或”，为真命题，且“且”为假命题，求实数的取值范围.
18.数列是等差数列，若.
(Ⅰ)求数列的前项和为；
(Ⅱ)若，求数列前项和为.
19.已知函数，并且在处取得极值.
(Ⅰ)求的值.
(Ⅱ)若对任意恒成立，求实数的取值范围.
20. 已知分别为三内角的对边，且满足.
(Ⅰ)求角的大小；
(Ⅱ)若，求的面积.
21.椭圆的左右焦点分别为和是椭圆上任一点，若的最大值为.
(Ⅰ)求椭圆的离心率；
(Ⅱ)直线交椭圆于两点，若为坐标原点），求椭圆的方程.
22.设函数，
(Ⅰ)讨论函数的单调性；
(Ⅱ)若，证明：.
天一大联考
2017-2018学年高二年级阶段性测试（二）
数学（文科）答案
一、选择题
1-5:DACCD 6-10:CABBD 11、12：AB
二、填空题
13.2 14.20 15. 16.
三、解答题
17.【解析】(Ⅰ)∵命题，使得成立
∴恒成立，
要使命题为真命题，则需，解得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，若命题是真命题，则需或；
若命题为真命题，则需.
∵命题“或”为真，且“且”为假，
∴命题，一真一假.
①当真假时，则即；
②当假真时，则，即；
∴实数的取值范围是或.
18.【解析】(Ⅰ)设数列的首项为，公差为.
则由题意可得，解得
所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，
所以
.
19.【解析】(Ⅰ)由可得，
再由函数在处取得极值，
可得1，3是方程的根，
所以有即.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，且，
令，解得，
∴函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
∴
若对任意恒成立，
则，即，
整理可得，解得或.
20.解：(Ⅰ)由正弦定理得，
又，
∴，即，
而为的内角，∴,
(Ⅱ)由可得，
再由(Ⅰ)可得，，
所以，即，
所以的面积.
21.【解析】(Ⅰ)设，则有，
又因为
，
而.
当且仅当时取等号，则此时取最大值，
所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，∴椭圆.
设，
由，即.
.
∵,∴,
即.
从而，解得或（舍去），
经检验，当时，符合题意.
∴椭圆的方程为.
22.解：(Ⅰ)的定义域为，，
当时，则当时，，当时，，
所以函数的在区间上单调递增，在区间上单调递减；
当时，则当或时，，当时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；
当时，在上恒成立，所以函数在定义域内是减函数；
当时，则当或时，，当时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
(Ⅱ)证明：若，则，定义域为，
设.
则，
当时，；
当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
，故当时，，即.
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