2019年四川省绵阳市涪城区中考数学二诊试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．的算术平方根是（ ）
A．2 B．4 C．±2 D．±4
2．如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积等于（ ）
A．112 B．136 C．124 D．84
3．光年是天文学中的距离单位，1光年大约是9500 000 000 000km，这个数据用科学记数法表示是（ ）
A．0.95×1013 km B．9.5×1012 km
C．95×1011 km D．9.5×1011 km
4．已知点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2018的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．（﹣3）2018
5．下列不等式变形正确的是（ ）
A．由a＜b，得a﹣2＞b﹣2 B．由a＜b，得3a＜3b
C．由a＜b，得﹣2a＜﹣2b D．由a＜b，得|a|＜|b|
6．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
7．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则另一个根为（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝3
8．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝
26
2cm，则OF的长度是（ ）
A．3cm B． cm C．2.5cm D． cm
9．无人机在A处测得正前方河流两岸B、C的俯角分别为α＝70°、β＝40°，此时无人机的高度是h，则河流的宽度BC为（ ）
A．h（tan50°﹣tan20°） B．h（tan50°+tan20°）
C． D．
10．如图，是二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③④
11．如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′，点B′恰好落在BC边土，B′C′和CD交于点P，则∠B′PD的度数是（ ）
26
A．105° B．120° C．130° D．135°
12．如图，每个图形都是由一些黑点按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有3个黑点，第②个图形中有14个黑点，第③个图形中有33个黑点，按此规律，则第⑦个图中黑点的个数是（ ）
A．189 B．190 C．245 D．246
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．多项式x2﹣4x+m分解因式的结果是（x+3）（x﹣n），则＝ ．
14．将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若∠1＝40°，则∠2＝ ．
15．袋中装有一个红球和二个黄球，它们除了颜色外都相同，随机从中摸出一球，记录下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到红球的概率是 ．
16．在平面直角坐标系中，点A（2，3）绕原点O逆时针旋转90°的对应点的坐标为 ．
17．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E是BD上一点，∠AEF＝60°．DE＝1，BF＝，则菱形的边长为 ．
18．如图，AB是半圆的直径，E是弦AC上一点，过点E作EF⊥EB，交AB于点F，过点A作AD∥EF，交半圆于点D．若C是的中点，＝，则的值为 ．
26
三．解答题（共7小题，满分86分）
19．（16分）（1）计算：（）﹣1+|1﹣|﹣2sin60°+（π﹣2016）0﹣．
（2）先化简，再求值：（﹣x+1）÷，其中x＝﹣2．
20．（11分）某超市对今年“元旦”期间销售A、B、C三种品牌的绿色鸡蛋情况进行了统计，并绘制如图所示的扇形统计图和条形统计图．根据图中信息解答下列问题：
（1）该超市“元旦”期间共销售 个绿色鸡蛋，A品牌绿色鸡蛋在扇形统计图中所对应的扇形圆心角是 度；
（2）补全条形统计图；
（3）如果该超市的另一分店在“元旦”期间共销售这三种品牌的绿色鸡蛋1500个，请你估计这个分店销售的B种品牌的绿色鸡蛋的个数？
21．（11分）某企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在15天内完成．已知每件产品的售价为65元，工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：
y＝
（1）工人甲第几天生产的产品数量为80件？
（2）设第x天（0≤x≤15）生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图，工人甲第x天创造的利润为W元．
①求P与x的函数关系式；
②求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？
26
22．（11分）如图1，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D．
（1）求k的值；
（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；
（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．
23．（11分）如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，EF：FD＝4：3．
（1）求证：点F是AD的中点；
（2）求sin∠AED的值；
（3）如果BD＝10，求半径CD的长．
24．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
26
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上在x轴下方的动点，过M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；
（3）E是抛物线对称轴上一点，F是抛物线上一点，是否存在以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（14分）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB于点M，点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项．
（1）如图1，求证：∠ANE＝∠DCE；
（2）如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；
（3）连接AC，如果△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE的长．
26
2019年四川省绵阳市涪城区中考数学二诊试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．【分析】利用算术平方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：＝4，4的算术平方根是2，
故选：A．
【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
2．【分析】由三视图可知该几何体是一个三棱柱，先根据勾股定理得到主视图三角形等边的长，再根据三棱柱的全面积＝2个底面积+3个侧面积，列式计算即可求解．
【解答】解：如图：
由勾股定理＝3，
3×2＝6，
6×4÷2×2+5×7×2+6×7
＝24+70+42
＝136．
故选：B．
【点评】考查了由三视图判断几何体，由三视图求几何体的表面积，关键是由三视图得到数据的对应量．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：9500 000 000 000km用科学记数法表示是9.5×1012 km，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a
26
|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值
4．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．
【解答】解：∵点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，
∴a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5，
解得：a＝3，b＝﹣4，
则（a+b）2018的值为：1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
5．【分析】根据不等式的3个性质找到变形正确的选项即可．
【解答】解：A、由a＜b，得a﹣2＜b﹣2，错误；
B、由a＜b，得3a＜3b，正确；
C、由a＜b，得﹣2a＞﹣2b，错误；
D、由a＜b，|a|与|b|不能确定大小，错误；
故选：B．
【点评】考查不等式性质的应用；用到的知识点为：不等式的两边加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；乘以或除以同一个不为0的正数，不等号的方向不变；乘以或除以同一个不为0的负数，不等号的方向改变．
6．【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．
【解答】解：∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°＝540°，
∴正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，
如图，延长正五边形的两边相交于点O，
则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，
360°÷36°＝10，
∵已经有3个五边形，
∴10﹣3＝7，
即完成这一圆环还需7个五边形．
26
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．
7．【分析】把x＝3代入可求得k的值，再解方程即可．
【解答】∵关于 x的一元二次方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，
∴32﹣3k﹣6＝0，解得k＝1，
∴x2﹣x﹣6＝0，解得x＝3或x＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题主要考查方程根的定义，由方程根的定义求得k的值是解题的关键．
8．【分析】根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：连接OB，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，AE＝2cm，
在Rt△OEB中，OE2+BE2＝OB2，
即OE2+42＝（OE+2）2
解得：OE＝3，
∴OB＝3+2＝5，
∴EC＝5+3＝8，
在Rt△EBC中，BC＝，
∵OF⊥BC，
∴∠OFC＝∠CEB＝90°，
∵∠C＝∠C，
26
∴△OFC∽△BEC，
∴，
即，
解得：OF＝，
故选：D．
【点评】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长．
9．【分析】利用角的三角函数定义求出CD，BD，从而可得BC．
【解答】解：过A作CB延长线的高，垂足为D，
由题意可知∠ABD＝α，∠ACB＝β，AD＝h，
∴BD＝h•tan20°，
CD＝h•tan50°，
∴BC＝CD﹣BD＝h（tan50°﹣tan20°）．
故选：A．
【点评】本题考查了解三角形的应用，关键是利用角的三角函数定义求出CD，BD．
10．【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）对①进行判断；根据对称轴方程为x＝﹣＝﹣1对②进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0），由此对③进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方，得到c＜0，而a+b+c＝0，则a﹣2b+c＝﹣3b，由b＞0，于是可对④进行判断．
【解答】解：∵x＝1时，y＝0，
∴a+b+c＝0，所以①正确；
∵x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，所以②错误；
∵点（1，0）关于直线x＝﹣1对称的点的坐标为（﹣3，0），
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0），
∴ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1，所以③正确；
26
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
而a+b+c＝0，b＝2a，
∴c＝﹣3a，
∴a﹣2b+c＝﹣3b，
∵b＞0，
∴﹣3b＜0，所以④错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x＝﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．
11．【分析】根据旋转的性质得出AB＝AB′，∠BAB′＝30°，进而得出∠B的度数，再利用平行四边形的性质得出∠C的度数，然后根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），
∴AB＝AB′，∠BAB′＝30°，
∴∠B＝∠AB′B＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∴∠AB′C′＝∠B＝75°，∠C＝180°﹣75°＝105°．
∴∠PB′C＝180°﹣2×75°＝30°，
∴∠B′PD＝∠PB′C+∠C＝135°，
故选：D．
【点评】主要考查了旋转的性质以及平行四边形的性质，根据已知得出∠B＝∠AB′B＝75°是解题关键．
12．【分析】根据已知图形得出第n个图形中黑点的个数为3n+（2n﹣1）2﹣1，据此求解可得．
【解答】解：∵第①个图形中黑点的个数3＝3×1+12﹣1，
第②个图形中黑点的个数14＝3×2+32﹣1，
第③个图形中黑点的个数33＝3×3+52﹣1，
……
∴第⑦个图形中黑点的个数为3×7+132﹣1＝189，
26
故选：A．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出第n个图形中黑点的个数为3n+（2n﹣1）2﹣1．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．【分析】根据题意列出等式，利用多项式相等的条件求出m与n的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：根据题意得：x2﹣4x+m＝（x+3）（x﹣n）＝x2+（3﹣n）x﹣3n，
∴3﹣n＝﹣4，m＝﹣3n，
解得：m＝﹣21，n＝7，
则原式＝﹣3，
故答案为：﹣3
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．【分析】直接利用三角形外角的性质结合平行线的性质得出答案．
【解答】解：∵∠1＝40°，∠4＝45°，
∴∠3＝∠1+∠4＝85°，
∵矩形对边平行，
∴∠2＝∠3＝85°．
故答案为：85°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．
15．【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．
【解答】解：画树状图如下：
26
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有1种结果，
所以两次都摸到红球的概率是，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
16．【分析】利用旋转的性质画出旋转前后的图形，然后写出A′点的坐标，则可判断点A′在平面直角坐标系中的位置．
【解答】解：如图，线段OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标为（﹣3，2），点A′在第二象限．
故答案为（﹣3，2）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
17．【分析】根据菱形性质得出AD＝AB，推出△ADB是等边三角形，推出AD＝AB＝BD，∠ADE＝∠ABE＝60°，设AD＝BD＝x，求出∠DAE＝∠FEB，证△ADE∽△EBF，推出＝，代入取出即可．
26
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∵∠DAB＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴AD＝AB＝BD，∠ADE＝∠ABE＝60°，
设AD＝BD＝x，
∵∠AEF＝60°，
∴∠DAE+∠DEA＝180°﹣60°＝120°，∠DEA+∠FEB＝180°﹣60°＝120°，
∴∠DAE＝∠FEB，
∵∠ADE＝∠EBF，
∴△ADE∽△EBF，
∴＝，
∴＝，
x＝3，
故答案为3．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，相似三角形的性质和判定，菱形的性质等知识点的综合运用，关键是推出△ADE∽△EBF．
18．【分析】作辅助线，构建直角三角形，根据，设AF＝a，AE＝4a，根据圆周角定理得：∠DAC＝∠BAC，由平行线的性质和等腰三角形三线合一的性质得：AG＝EG＝2a，由勾股定理得：FG＝a，证明△ADE∽△AGF，计算AD＝，可得结论．
【解答】解：延长BE交AD于A'，
∵AD∥EF，EF⊥BE，
∴AA'⊥BA'，
∴∠AA'B＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴D与A'重合，
26
∵，
∴设AF＝a，AE＝4a，
过F作FG⊥AE于G，
∵C是的中点，
∴，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵AD∥EF，
∴∠BFE＝∠DAB＝2∠BAC＝∠BAC+∠AEF，
∴∠BAC＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∴AG＝EG＝2a，
由勾股定理得：FG＝a，
∵∠DAE＝∠GAF，∠ADE＝∠AGF＝90°，
∴△ADE∽△AGF，
∴，
∴＝，
AD＝，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理、平行线的性质，也考查了相似三角形的判定与性质，延长BE，证得D、E、B共线是关键．
三．解答题（共7小题，满分86分）
19．【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；
26
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：（1）原式＝3+﹣1﹣2×+1﹣2
＝3+﹣1﹣+1﹣2
＝1；
（2）原式＝（﹣）÷
＝•
＝•
＝，
当x＝﹣2时，
原式＝＝＝2﹣1．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握实数与分式的混合运算顺序和运算法则．
20．【分析】（1）用C品牌的数量除以所占的百分比，计算机求出鸡蛋的总量，再用A品牌的百分比乘以360°计算即可求出圆心角的度数；
（2）求出B品牌鸡蛋的数量，然后条形补全统计图即可；
（3）用B品牌所占的百分比乘以1500，计算即可得解．
【解答】解：（1）共销售绿色鸡蛋：1200÷50%＝2400个，
A品牌所占的圆心角：×360°＝60°；
故答案为：2400，60；
（2）B品牌鸡蛋的数量为：2400﹣400﹣1200＝800个，
补全统计图如图；
（3）分店销售的B种品牌的绿色鸡蛋为：×1500＝500个．
26
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．【分析】（1）根据y＝80求得x即可；
（2）先根据函数图象求得P关于x的函数解析式，再结合x的范围分类讨论，根据“总利润＝单件利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质求得最值即可．
【解答】解：（1）根据题意，得：∵若8x＝80，得：x＝10＞5，不符合题意；
若5x+10＝80，解得：x＝14．
答：工人甲第14天生产的产品数量为80件；
（2）①由图象知：当0≤x≤5时，P＝40；
当5＜x≤15时，设P＝kx+b，
将（5，40），（15，50）代入得：，
∴，
∴P＝x+35，
综上，P与x的函数关系式为：P＝；
②当0≤x≤5时，W＝（65﹣40）×8x＝200x，
当5＜x≤15时，W＝（65﹣x﹣35）（5x+10）＝﹣5x2+140x+300，
综上，W与x的函数关系式为：W＝；
当0≤x≤5时，W＝200x，
∵200＞0，
∴W随x的增大而增大，
26
∴当x＝5时，W最大为1000元；
当5＜x≤15时，W＝﹣5（x﹣14）2+1280，
当x＝14时，W最大值为1280元，
综上，第14天时，利润最大，最大利润为1280元．
【点评】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解题的关键是理解题意，记住利润＝售价﹣成本，学会利用函数的性质解决最值问题．
22．【分析】（1）由点A在反比例函数图象上，用待定系数法确定反比例函数的解析式；
（2）由反比例函数解析式先求出点B的坐标，过B作BE⊥AD于E，可得到AE、BE间的长度关系，从而得到∠BAE的度数，再根据∠BAC的度数求出∠DAC，从而得到tan∠DAC的值，根据tan∠DAC的值及线段的和差关系，求得点C的坐标，从而确定一次函数AC的解析式；
（3）设M的横坐标为m，可知道M、N点的坐标，利用三角形的面积公式得到关于m的二次函数，利用二次函数的性质，得到△MNC的最大面积．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，1）
∴＝1，
∴k＝2；
（2）∵k＝2，所以反比例函数解析式为y＝
∵点B（1，a）在反比例函数y＝的图象上，
∴a＝＝2，
∴点B（1，2）
过B作BE⊥AD于E，则AE＝BE＝2﹣1．
∴∠ABE＝∠BAE＝45°
又∵∠BAC＝75°，
∴∠DAC＝30°
∴tan∠DAC＝tan30°＝
∴DC＝AD＝＝2，
∴OC＝2﹣1＝1，
∴C（0，﹣1）
26
设直线AC的解析式为y＝kx+b
∴，解得
∴直线AC的解析式为y＝x﹣1
（3）设M（m，）（0＜m＜2），则N（m， m﹣1）
则MN＝﹣（m﹣1）＝﹣m+1
∴S△CMN＝（﹣m+1）•m＝﹣m2+m+
＝﹣（m﹣）2+
当m＝时，△CMN的面积有最大值，最大值为
【点评】本题考查了待定系数法确定反比例函数、一次函数的解析式，等腰三角形的性质，二次函数的最大值等知识点．综合性比较强．掌握待定系数法及二次函数最大值的求法是关键．做BE⊥AD得到等腰三角形难点．
23．【分析】（1）由AD是△ABC的角平分线，∠B＝∠CAE，易证得∠ADE＝∠DAE，即可得ED＝EA
26
，又由ED是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得EF⊥AD，由三线合一的知识，即可判定点F是AD的中点；
（2）首先连接DM，设EF＝4k，DF＝3k，然后由勾股定理求得ED的长，继而求得DM与ME的长，由正弦函数的定义，即可求得答案；
（3）易证得△AEC∽△BEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得方程：（5k）2＝k•（10+5k），解此方程即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1＝∠2，
∵∠ADE＝∠1+∠B，∠DAE＝∠2+∠3，且∠B＝∠3，
∴∠ADE＝∠DAE，
∴ED＝EA，
∵ED为⊙C直径，
∴∠DFE＝90°，
∴EF⊥AD，
∴点F是AD的中点；
（2）解：连接DM，
设EF＝4k，DF＝3k，
则ED＝＝5k，
∵AD•EF＝AE•DM，
∴DM＝＝k，
∴ME＝＝k，
∴sin∠AED＝＝；
（3）解：∵∠B＝∠3，∠AEC为公共角，
∴△AEC∽△BEA，
∴AE：BE＝CE：AE，
∴AE2＝CE•BE，
26
∴（5k）2＝k•（10+5k），
整理得：25k2＝50k，
∵k＞0，
∴k＝2，
∴CD＝k＝5．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
24．【分析】（1）由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设出点M的坐标以及直线BC的解析式，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，结合点M的坐标即可得出点N的坐标，由此即可得出线段MN的长度关于m的函数关系式，再结合点M在x轴下方可找出m的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）讨论：当以AB为对角线，利用EA＝EB和四边形AFBE为平行四边形得到四边形AFBE为菱形，则点F也在对称轴上，即F点为抛物线的顶点，所以F点坐标为（﹣1，﹣4）；当以AB为边时，根据平行四边形的性质得到EF＝AB＝4，则可确定F的横坐标，然后代入抛物线解析式得到F点的纵坐标．
【解答】解：（1）将点B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y＝x2+bx+c中，
得：，
解得：．
故抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3．
（2）设点M的坐标为（m，m2﹣4m+3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，
把点B（3，0）代入y＝kx+3中，
得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
26
∵MN∥y轴，
∴点N的坐标为（m，﹣m+3）．
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为x＝2，
∴点（1，0）在抛物线的图象上，
∴1＜m＜3．
∵线段MN＝﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，线段MN取最大值，最大值为．
（3）存在．点F的坐标为（2，﹣1）或（0，3）或（4，3）．
当以AB为对角线，如图1，
∵四边形AFBE为平行四边形，EA＝EB，
∴四边形AFBE为菱形，
∴点F也在对称轴上，即F点为抛物线的顶点，
∴F点坐标为（2，﹣1）；
当以AB为边时，如图2，
∵四边形AFBE为平行四边形，
∴EF＝AB＝2，即F2E＝2，F1E＝2，
∴F1的横坐标为0，F2的横坐标为4，
对于y＝x2﹣4x+3，
当x＝0时，y＝3；
当x＝4时，y＝16﹣16+3＝3，
∴F点坐标为（0，3）或（4，3）．
综上所述，F点坐标为（2，﹣1）或（0，3）或（4，3）．
26
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、两点间的距离以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用二次函数的性质解决最值问题；（3）注意分类思想的运用．
25．【分析】（1）由比例中项知＝，据此可证△AME∽△AEN得∠AEM＝∠ANE，再证∠AEM＝∠DCE可得答案；
（2）先证∠ANE＝∠EAC，结合∠ANE＝∠DCE得∠DCE＝∠EAC，从而知＝，据此求得AE＝8﹣＝，由（1）得∠AEM＝∠DCE，据此知＝，求得AM＝，由＝求得MN＝；
（3）分∠ENM＝∠EAC和∠ENM＝∠ECA两种情况分别求解可得．
【解答】解：（1）∵AE是AM和AN的比例中项
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△AME∽△AEN，
26
∴∠AEM＝∠ANE，
∵∠D＝90°，
∴∠DCE+∠DEC＝90°，
∵EM⊥BC，
∴∠AEM+∠DEC＝90°，
∴∠AEM＝∠DCE，
∴∠ANE＝∠DCE；
（2）∵AC与NE互相垂直，
∴∠EAC+∠AEN＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ANE+∠AEN＝90°，
∴∠ANE＝∠EAC，
由（1）得∠ANE＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠EAC，
∴tan∠DCE＝tan∠DAC，
∴＝，
∵DC＝AB＝6，AD＝8，
∴DE＝，
∴AE＝8﹣＝，
由（1）得∠AEM＝∠DCE，
∴tan∠AEM＝tan∠DCE，
∴＝，
26
∴AM＝，
∵＝，
∴AN＝，
∴MN＝；
（3）∵∠NME＝∠MAE+∠AEM，∠AEC＝∠D+∠DCE，
又∠MAE＝∠D＝90°，由（1）得∠AEM＝∠DCE，
∴∠AEC＝∠NME，
当△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似时
①∠ENM＝∠EAC，如图2，
∴∠ANE＝∠EAC，
由（2）得：DE＝；
②∠ENM＝∠ECA，
如图3，
过点E作EH⊥AC，垂足为点H，
由（1）得∠ANE＝∠DCE，
∴∠ECA＝∠DCE，
∴HE＝DE，
26
又tan∠HAE＝＝＝，
设DE＝3x，则HE＝3x，AH＝4x，AE＝5x，
又AE+DE＝AD，
∴5x+3x＝8，
解得x＝1，
∴DE＝3x＝3，
综上所述，DE的长分别为或3．
【点评】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质、三角函数的应用等知识点．
26
微信/支付宝扫码支付