第四章 单元检测题
一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是( )
A．∠1＝∠3 B．∠2＋∠4＝180°
C．∠1＝∠4 D．∠3＝∠4
2．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是( )
A．2 B．3 C. D．4
3．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos B的值是( )
A. B. C. D.
4．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点B落在直线a上，若∠1＝25°，则∠2的大小为( )
A．55° B．75° C．65° D．85°
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为( )
A．30°
B．45°
C．50°
D．75°
6．已知△ABC的三边长分别为4，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
7．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60 cm长的绑绳EF，tan α＝，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是( )
A．144 cm B．180 cm
C．240 cm D．360 cm
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.若AC＝3，AB＝5，则CE的长为( )
A. B. C. D.
9．如图，已知圆柱的底面直径BC＝，高AB＝3，小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为( )
A．3 B．3 C．6 D．6
10．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH.已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝2EF，则正方形ABCD的面积为( )
A．12S B．10S C．9S D．8S
11．如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为( )
A．(11－2)米 B．(11－2)米
C．(11－2)米 D．(11－4)米
12．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB(单位：米)为( )
A．50 B．51 C．50＋1 D．101
二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)
13．在△ABC中，AB＝13 cm，AC＝20 cm，BC边上的高为12 cm，则△ABC的面积为__________ cm2.
14．如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A＝52°，则∠1＋∠2的度数为__________．
15．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；
再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；
再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；
…
这样画下去，直到得到第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝__________．
16．如图，∠AOB＝45°，点M，N在边OA上，OM＝x，ON＝x＋4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是________．
17．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于__________．
三、解答题(本大题共7个小题，共52分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
18．(本题满分5分)
如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.求证：∠A＝∠D.
[
19．(本题满分5分)
如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC＝72°，∠ACD＝58°，点D在GH上，求∠BDC的度数．
20．(本题满分8分)
如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，
∠ADB＝∠ABC＝105°.
(1)若AD＝2，求AB；
(2)若AB＋CD＝2＋2，求AB.
21．(本题满分8分)
如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接BE，CD，交于点F.
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.
22．(本题满分8分)
如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向(北偏东45°)以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向，距离60千米的地方有一城市A.
(1)问：A市是否会受到此台风的影响，为什么？
(2)在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方还有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．
23．(本题满分9分)
如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．
(1)求证：BD＝CE；
(2)设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点，当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．
]
24．(本题满分9分)
如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台(矩形ABCD)靠墙摆放，高AD＝80 cm，宽AB＝48 cm，小强身高166 cm，下半身FG＝100 cm，洗漱时下半身与地面成80°(∠FGK＝80°)，身体前倾成125°(∠EFG＝125°)，脚与洗漱台距离GC＝15 cm(点D，C，G，K在同一直线上)．
(1)此时小强头部E点与地面DK相距多少？
(2)小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？
(sin 80°≈0.98，cos 80°≈0.17，≈1.41，结果精确到0.1)
参考答案
1．D 2.A 3.A 4.C 5.B 6.B 7.B 8.A 9.D 10.C 11.D 12.C
13．126或66 14.64° 15.9
16．x＝0或x＝4－4或4＜x＜4 17.3
18．证明：∵BE＝CF，∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠D.
19．解：∵EF∥GH，
∴∠ABD＋∠FAC＝180°，
∴∠ABD＝180°－72°＝108°，
∵∠ABD＝∠ACD＋∠BDC，
∴∠BDC＝∠ABD－∠ACD＝108°－58°＝50°.
20．解：(1)如图，过点D作DE⊥AB，过点B作BF⊥CD，
∵∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝360°－∠A－∠C－∠ABC＝165°，
∴∠BDF＝∠ADC－∠ADB＝165°－105°＝60°，
△ADE与△BCF为等腰直角三角形．
∵AD＝2，∴AE＝DE＝.
∵∠ABC＝105°，∴∠ABD＝105°－45°－30°＝30°，
∴BE＝＝.
∴AB＝AE＋BE＝＋.
(2)设DE＝x，则AE＝x，BE＝＝x.
∴BD＝＝2x，
∵∠BDF＝60°，∴∠DBF＝30°，∴DF＝BD＝x，
∴BF＝＝＝x，
∴CF＝x.
∵AB＝AE＋BE＝x＋x，CD＝DF＋CF＝x＋x，
AB＋CD＝2＋2，
∴AB＝＋1.
21．(1)解：∠ABE＝∠ACD.理由如下：
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE＝∠ACD.
(2)证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
由(1)可知∠ABE＝∠ACD，
∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.
∵AB＝AC，
∴点A，F均在线段BC的垂直平分线上，
即直线AF垂直平分线段BC.
22．解：(1)如图，作AH⊥OC，易知台风中心O与A市的最近距离为AH的长度，
由题意得∠HOA＝45°，OA＝60，
∴AH＝HO＝60，
∵60＞50，
∴A市不会受到此台风的影响．
(2)如图，作BG⊥OC于G，
由题意得∠BOC＝30°，
OB＝80，
∴BG＝OB＝40.
∵40＜50，
∴会受到影响．
由题意知，台风从E点开始影响B城市到F点影响结束，BE＝BF＝50，
∴EG＝＝30，∴EF＝2EG＝60.
∵风速为40 千米/小时，∴60÷40＝1.5(小时)，
∴影响时间约为1.5小时．
23．(1)证明：由题意得AB＝AC，
∵BD，CE分别是两腰上的中线，
∴AD＝AC，AE＝AB，
∴AD＝AE.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE.∴BD＝CE.
(2)四边形DEMN是正方形．
24．解：(1)如图，过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M.
∵EF＋FG＝166，FG＝100，∴EF＝66.
∵∠FGK＝80°，
∴FN＝100·sin 80°≈98.
∵∠EFG＝125°，∴∠EFM＝180°－125°－10°＝45°，
∴FM＝66·cos 45°＝33≈46.53，
∴MN＝FN＋FM≈144.5，
∴此时小强头部E点与地面DK相距约为144.5 cm.
(2)如图，过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H.
∵AB＝48，O为AB中点，
∴AO＝BO＝24.
∵EM＝66·sin 45°≈46.53，
∴PH＝EM≈46.53.
∵GN＝100·cos 80°≈17，CG＝15，
∴OH＝24＋15＋17＝56，OP＝OH－PH＝56－46.53＝9.47≈9.5，
∴他应向前9.5 cm.
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