第五章 单元检测题
一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一个多边形的内角和为360°，则这个多边形是( )
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
2．下列图形只是中心对称图形的是( )
A．平行四边形 B．正方形
C．圆 D．正六边形
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则BD的长为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF＝2，则AC的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
5．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是( )
A．两条对角线互相平分
B．对角线相等
C．一条对角线平分另一条对角线
D．一组对边平行，另一组对边相等
6．如图，E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BE＝CF，连接CE，DF.△CDF可以看作是将△BCE绕着某一点旋转得到的，则旋转角的度数可能是( )
A．45° B．60° C．90° D．120°
7．正方形、矩形、菱形都具有的性质是( )
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角
8．关于▱ABCD的叙述，正确的是( )
A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形
B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形
C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形
D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形
9．正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
10．已知过四边形ABCD的顶点A，B，C，D分别作BD，AC的平行线围成四边形EFGH.若四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD必定是( )
A．菱形 B．平行四边形
C．矩形 D．对角线相等的四边形
11．在▱ABCD中，AB＝10，BC＝14，E，F分别为BC，AD上的点．若四边形AECF为正方形，则AE的长为( )
A．7 B．4或10
C．5或9 D．6或8
12．如图是由三个边长分别为6，9，x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值为( )
A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6
二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)
13．边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为__________．
14．如图，△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F.若BC＝6，则DF的长为______．
15．在▱ABCD中，AB＝17，AC＝16，BD＝30，则BC的长为________．
16．如图，有一▱ABCD与一正方形CEFG，其中点E在AD上．若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B＝________度．
17．如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标为______________．
三、解答题(本大题共7个小题，共52分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
18．(本题满分5分)
如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB＝6.将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA1B1.
(1)线段OA1的长为________，∠AOB1＝________度；
(2)连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形．
19．(本题满分5分)
如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD⊥AD，AB＝10，BC＝8，求OB的长和▱ABCD的面积．
20．(本题满分8分)
已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线相交于点P.
求证：四边形CODP是菱形．
21．(本题满分8分)
如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD.
(1)求证：△AED≌△CFB；
(2)若∠A＝30°，∠DEB＝45°，求证：DA＝DF.
22．(本题满分8分)
如图，点O是△ABC外一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG.
(1)判断四边形DEFG的形状，并说明理由；
(2)若点M为EF的中点，DG＝8，∠OBC与∠OCB互余，求线段OM的长度．
23．(本题满分9分)
如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝4，对角线AC，BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α(0°＜α＜90°)后得直线l，直线l与AD，BC两边分别相交于点E和点F.
(1)证明：△AOE≌△COF；
(2)当α＝30°时，求线段EF的长度．
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24．(本题满分9分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形DFEC和BCGH是正方形．试问：线段AC，EG有怎样的关系？并加以证明．
参考答案
1．B 2.A 3.A 4.B 5.A 6.C 7.A 8.C 9.B 10.D 11.D 12.D
13. 14.3 15.17 16.70 17.(2＋，1)
18．(1)解：6 135
(2)证明：∵∠AOA1＝∠OA1B1＝90°，
∴OA∥A1B1.
又∵OA＝AB＝A1B1，
∴四边形OAA1B1是平行四边形．
19．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD.
又∵BC＝8，∴AD＝8.
∵BD⊥AD，∴△ABD是直角三角形，
由勾股定理得BD＝＝＝6.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD＝BD＝3，
∴▱ABCD的面积为AD·DB＝8×6＝48.
20．证明：∵CP∥OD，DP∥OC，
∴四边形OCPD是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，∴OC＝OD，
∴四边形CODP是菱形．
21．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，∠A＝∠C，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD.
∵ED⊥DB，FB⊥BD，∴∠EDB＝∠FBD＝90°，
∴∠ADE＝∠CBF，∴△AED≌△CFB.
(2)如图，过点D作DH⊥AB，垂足为点H.
在Rt△ADH中，∠A＝30°，∴AD＝2DH.
在Rt△DEB中，∠DEB＝45°，∴DE＝DB，
∴EB＝2DH，∴AD＝EB.
∵∠EDB＝∠FBD＝90°，∴DE∥BF，
又∵AB∥DC，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∴FD＝BE，∴DA＝DF.
22．解：(1)四边形DEFG是平行四边形．理由如下：
∵D，G分别是AB，AC的中点，∴DG是△ABC的中位线，∴DG＝BC，DG∥BC；
同理可得EF＝BC，EF∥BC，
∴DG＝EF，DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形．
(2)∵∠OBC与∠OCB互余，
∴∠EOF＝90°，即△EOF为直角三角形．
∵四边形DEFG是平行四边形，DG＝8，
∴EF＝DG＝8.
又∵点M为EF的中点，∴OM＝EF＝4.
23．(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO.
∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF.
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.
又AB＝AC＝4，∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠EAO＝∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴∠ABO＝∠ABC＝30°，∠AOB＝90°，
∴AO＝2.
在△AEO中，∠AEO＝180°－60°－30°＝90°，
∴AE＝AO＝1，∴EO＝＝，
由(1)得△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，∴EF＝2.
24．解：AC＝EG，AC⊥EG.证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°，
即∠ABH＋∠HBC＋∠BCD＝180°.
又∵四边形BCGH是正方形，
∴∠HBC＝∠BCG＝90°，
∴∠ABH＋∠BCD＝90°.
又∵∠BCG＝∠BCD＋∠GCD＝90°，
∴∠ABH＝∠GCD.
又∵四边形DFEC是正方形，
∴∠DCE＝90°，
∴∠ABH＋∠HBC＝∠GCD＋∠DCE，
即∠ABC＝∠ECG.
又∵AB＝DC＝EC，BC＝HG.
∴△ABC≌△ECG，
∴AC＝EG，∠BAC＝∠CEG.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAC＝∠DCA.
又∵∠DCA＋∠ACE＝90°，
∴∠CEG＋∠ACE＝90°，∴AC⊥EG.
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