2017-2018学年度上期期末高中抽测调研
高三数学（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.设复数满足，则（ ）
A．3 B． C．9 D．10
3.已知是第四角限角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4.已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C. D．
5.正方体中，为棱的中点（如图），用过点的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）
A． B． C. D．
6.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为（ ）
A． B． C. D．
7.已知实数满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C.4 D．6
8.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为5，2，则输出的（ ）
A．5 B．4 C. 3 D．2
9.函数的部分图象大致为（ ）
A． B
C. D．
10.在三棱锥中，与都是正三角形，平面平面，若该三棱锥的外接球的体积为，则边长为（ ）
A． B． C. D．6
11.设为直径的圆与双曲线某条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．
12.已知函数的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知平面向量与的夹角为，且，则 ．
14.“勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明。如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是 ．
15.设为抛物线上一点，为抛物线的焦点，以为圆心，为半径的圆和抛物线的准线相交，则的取值范围是 ．
16.在中，，则 ．
三、解答题
（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列的前项和，且，
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)令，是否存在，使得成等比数列？若存在，求出所有符合条件的值；若不存在，请说明理由.
18.甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：
(Ⅰ)请填写下表（写出计算过程）：
平均数
方差
命中9环及9环以上的次数
甲
乙
(Ⅱ)从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析；
①从平均数和方差结合看（分析谁的成绩更稳定）；
②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看（分析谁的成绩好些）；
③从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）
19.如图，在三棱柱中，平面,四边形是边长为的正方形，为上的一点，且平面平面.
（Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)若与平面所成角为，求三棱锥的体积.
20. 已知椭圆的方程为，椭圆的短轴为的长轴且离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)如图，分别为直线与椭圆的交点，为椭圆与轴的交点，面积为面积的2倍，若直线的方程为，求的值.
21.已知函数，其中…为自然对数的底数.
(Ⅰ)求函数的单调区间；
(Ⅱ)当时，，求实数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；
(Ⅱ)若曲线上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围.
23.选修4-5：不等式选讲
已知.
(Ⅰ)求的解集；
(Ⅱ)若，求证：对，且成立.
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文科数学 参考答案
一、选择题
1-5:ADCDB 6-10:BACAB 11、12：CD
二、填空题
13.6 14. 3 15. 100 16.
三、解答题
17.(1)∵.
由已知可得，.
则有.
∴，
∵为三角形的内角 ∴，∴.
又∵为三角形的内角， ∴.
(2)∵，∴.
又，
∴.
∴.
故的最小值为12.
18.(1)按分层抽样男生应抽取80名，女生应抽取20名.
∴，.
抽取的100名且测试等级为优秀的学生中有三位男生，设为；
两位女生设为，从5名任意选2名，总的基本事件有
，共10个.
设“选出的两名学生恰好是一男一女为事件”.
则事件包含的基本事件有共6个.
∴
(2)列联表如下表：
男生
女生
总计
体育达人
50
5
55
非体育达人
30
15
45
总计
80
20
100
则.
∵且.
所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下可以认为“是否为‘体育达人’与性别无关”.
19.(1)证明：连接，据题知.
∵，∴，∵，
∴ ∴.
∴，则.
又因为平面平面，所以平面，∴,
因为,都在平面内，所以平面；
(2)∵,∴,∴,
∴在中，,
∴是等腰三角形，∴可求得,
设点到平面的距离为.
由,∴,∴.
故点到平面的距离为3.
20.(1)可化为，则圆心为.
∵，∴，解得.
∴抛物线的方程为.
(2)设直线为：.
联立可得，∴，
∵,∴，
即.
整理可得，∵，∴，
∴直线的方程为：，故直线过定，
∴当时，即动点经过圆心时到动直线的距离取得最大值.
当时，即动点经过圆心时到动直线的距离取得最大值.
，∴，
此时直线的方程为：，即为.
21.(1)由已知可得的定义域为.
∵，∴，∴，∴，
令得，令得，
∴的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)不等式可化为.
令，
令，
∵，令的对称轴为，
①当时，即，易知在上单调递减.
∴，
若，则， ∴， ∴在上单调递减，
∴，不适合题意.
若，则，∴必存在使得时，
∴在上单调递增，∴恒成立，适合题意.
②当时，即，易知必存在使得在上单调递增，
∴，∴，∴在上单调递增，
∴恒成立，适合题意.
综上，的取值范围是.
22.(1)直线的参数方程为：（为参数）.
∵，∴，∴，即.
(2)当时，直线的参数方程为：为参数），
代入可得.
设两点对应的参数分别为，则
∴.
又点到直线的距离.
∴.
23.(1)由已知，可得.
即.
则有：，
∴或.
故所求不等式的解集为：.
(2)由已知，设
当时，只需恒成立，即，
∵ ∴恒成立.
∴，∴，
当时，只需恒成立，即恒成立.
只需，∴，∴.
当时，只需恒成立，即.
∵， ∴恒成立.
∵，且无限趋近于4，
∴.
综上，的取值范围是.
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