2017-2018学年度上学期孝感市八校教学联盟
期末联合考试
高二文科数学试卷
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.命题“对任意，都有”的否定为（ ）
A．对任意，都有 B．不存在，使得
C．存在，使得 D．存在，使得
2.若复数满足，则（ ）
A． B．1 C． D．
3.余弦函数是偶函数，是余弦函数，因此是偶函数，以上推理（ ）
A．结论不正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．全不正确
4.袋中装有3个黑球，4个白球，从中任取4个球，则
①至少有1个白球和至少有1个黑球； ②至少有2个白球和恰有3个黑球；
③至少有1个黑球和全是白球； ④恰有1个白球和至多有1个黑球.
在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为（ ）
A．① B．② C. ③ D．④
5.下列命题中为真命题的是（ ）
A．命题“若，则”的逆命题
B．命题“若，则”的否命题
C.命题“若，则”的逆命题
D．命题“若，则”的逆否命题
6.①已知，求证，用反正法证明时，可假设；②设为实数，，求证与中至少有一个小于，用反证法证明时可假设，且，以下说法正确的是（ ）
A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确
C. ①的假设正确，②的假设错误 D．①的假设错误，②的假设正确
7.下列各数中，最大的是（ ）
A． B． C. D．
8.执行如图所示的程序框图，若输出的值为10，则判断框内可填入的条件是（ ）
A． B． C. D．
9.某校艺术节对摄影类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“是或作品获得一等奖”；
乙说：“作品获得一等奖”；
丙说：“两项作品未获得一等奖”；
丁说：“是作品获得一等奖”.
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（ ）
A．作品 B．作品 C. 作品 D．作品
10.下列说法中错误的是（ ）
A．先把高二年级的2000名学生编号为1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为，然后抽取编号为，，的学生，
这样的抽样方法是系统抽样法
B．线性回归直线一定过样本中心点
C.若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1
D．若一组数据1、、3的平均数是2，则该组数据的方差是
11.鞋柜里有3双不同的鞋，从中取出一只左脚的，一只右脚的，恰好成双的概率为（ ）
A． B． C. D．
12.命题“存在，使成立”为真命题的一个必要不充分条件可以是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清、模棱两可均不得分.
13.对某同学的7次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：
①中位数为84；②众数为83；
③平均数为85；④极差为16；
其中，正确说法的序号是 ．
14.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为4，抽到的32人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷，则抽到的人中，做问卷的人数为 ．
15.在2017年11月11日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：
由散点图可知，销售量与价格之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是，则 ．
16.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则 ．
三、解答题 ：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（1）用秦九韶算法求多项式当时的值；
（2）用辗转相除法或更相减损术求81和135的最大公约数.
18.已知复数，（，为虚数单位）.
（1）若是纯虚数，求实数的值；
（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围.
19.设实数满足，其中，命题实数满足.
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
20.已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球个.若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.
（1）求的值；
（2）从袋子中有放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为，第二次取出的小球标号为.
①记“”为事件，求事件的概率；
②在区间内任取2个实数，求事件“恒成立”的概率.
21.证明下列不等式：
（1）当时，求证：；
（2）设，，若，求证：.
22.某工厂有工人1000名，为了提高工人的生产技能，特组织工人参加培训.其中250名工人参加过短期培训（称为类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为类工人）.现从该工厂的工人中共抽查了100名工人作为样本，调查他们的生产能力（生产能力是指工人一天加工的零件数），得到类工人生产能力的茎叶图（图1），类工人生产能力的频率分布直方图（图2）.
（1）在样本中求类工人生产能力的中位数，并估计类工人生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若规定生产能力在内为能力优秀，现以样本中频率作为概率，从1000名工人中按分层抽样共抽取名工人进行调查，请估计这名工人中的各类人数，完成下面的列联表.
若研究得到在犯错误的概率不超过的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关，则
的最小值为多少？
参考数据：
参考公式：，其中.
试卷答案
一、选择题
1-5:CBCDB 6-10:DADBC 11、12：BC
二、填空题
13. ②④ 14. 8 15.20 16.99
三、解答题
17.解：（1）
；；；
；
所以，当时，多项式的值为255.
（2）
则81与135的最大公约数为27
18.解：（1）依据
根据题意是纯虚数，
；
（2）根据题意在复平面上对应的点在第四象限，可得
所以，实数的取值范围为
19.解：由，得，
又，所以.
又得，所以
（1）当时
由为真，则满足，则实数的取值范围是，
（2）是的充分不必要条件，
记，
则是的真子集，满足，
则实数的取值范围是
20.解：（1）依题意，得.
①记标号为0的小球为，标号为1的小球为，标号为2的小球为，则取出2个小球的可能情况有：，，，共16种，其中满足“”的有5种：.所以所求概率为
②记“恒成立”为事件，则事件等价于“”恒成立，可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为，而事件构成的区域为.所以所求的概率为
21.试题解析：（1）要证
即证
只要证，
只要证，
只要证，由于，
只要证，
最后一个不等式显然成立，所以
（2）因为，，，
所以
当且仅当，即时，等号成立
所以
22.解析：（Ⅰ）由茎叶图知类工人生产能力的中位数为123，由频率分布直方图，估计类工人生产能力的平均数为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及所给数据得能力与培训的列联表如下：
由上表得
，
解得，又人数必须取整，
∴的最小值为360.
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