河北武邑中学2018-2019学年下学期高三第一次模拟考试
数 学 （理工）试 题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，满足，，若，则集合( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3、如图所示,水平放置的圆柱形物体的三视图是( )
A.B.
C.D.
4．函数的图象大致为:
5.函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中
，则的最小值为:;
5
6.已知的内角A，B，C的对边分别别为a，b，c，且
则=（ ）
A．6 B．7 C.8 D．9
7．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）
A． B． C．1－ D．1－
8.已知函数的图象经过点，且关于直线对称，则下列结论正确的是( )
A. 在上是减函数 B. 若是的一条对称轴，则一定有
C. 的解集是， D. 的一个对称中心是
9.从1，2，3，4，5中任取5个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（ ）
A. B. C. D.
10.一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
11.设分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12.对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.向量，，若向量，共线，且，则的值为__________．
14．在的展开式中常数项等于 .
15.数列满足：:的前项和为，则 _______.
16.已知在直三棱柱中，，，若棱在正视图的投影面内，且与投影面所成角为.设正视图的面积为，侧视图的面积为，当变化时，的最大值是__________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.(本大题满分12分)
在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（I）求；
（II）若，，求的面积.
18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，平面平面，点为棱的中点．
（Ⅰ）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；
（Ⅱ）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角．
19. 有一个同学家开了一个奶茶店，他为了研究气温对热奶茶销售杯数的影响，从一季度中随机选取5天，统计出气温与热奶茶销售杯数，如表：
气温（oC）
0
4
12
19
27
热奶茶销售杯数
150
132
130
104
94
（Ⅰ）求热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程（精确到0.1），若某天的气温为15oC，预测这天热奶茶的销售杯数；
（Ⅱ）从表中的5天中任取一天，若已知所选取该天的热奶茶销售杯数大于120，求所选取该天热奶茶销售杯数大于130的概率.
参考数据：，.
参考公式：，
20.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若不过原点的直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，并且点是线段的中点，求面积的最大值.
21. 已知,设,且,记;
（1）设,其中,试求的单调区间;
（2）试判断弦的斜率与的大小关系,并证明;
（3）证明：当时,.
选做题（请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）
22.选修4-4：坐标系与参数方程（本大题满分10分）
已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线的极坐标方程为，曲线(为参数).其中.
（Ⅰ）试写出直线的直角坐标方程及曲线的普通方程；
（Ⅱ）若点为曲线上的动点，求点到直线距离的最大值.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知.
(Ⅰ)求的解集；
(Ⅱ)若恒成立，求实数的最大值.
高三第一次模拟考试理数答案
1.CDAAC 6-10:CBCDC 11-12:AB
13.-8 14， 9 15， 16..
17．解：（Ⅰ）由得，
，
所以；
（Ⅱ），设，
，
由余弦定理得：，
所以，
所以的面积．
18.【详解】（Ⅰ）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点．
理由如下：取的中点，连结、，由题意，且，
且，故且.所以，四边形为平行四边形.
所以，，又平面，平面，所以，平面............6分
（Ⅱ）由题意知为正三角形，所以，亦即，
又，所以，且平面平面，平面平面，
所以平面，故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，
设，则由题意知，，，，
，，
设平面的法向量为，
则由得，令，则，，
所以取，显然可取平面的法向量，
由题意：，所以.
由于平面，所以在平面内的射影为，
所以为直线与平面所成的角，
易知在中，，从而，
所以直线与平面所成的角为................................12分
19. 解：（Ⅰ）由表格中数据可得，,............................2分
∴..................................5分
∴
∴热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程为...................6分
∴当气温为15oC时，由回归方程可以预测热奶茶的销售杯数
为(杯) ......................8分
（Ⅱ）设表示事件“所选取该天的热奶茶销售杯数大于120”，表示事件“所选取该天的热奶茶销售杯数大于130”，则“已知所选取该天的热奶茶销售杯数大于120时，销售杯数大于130”应为事件..................................................10分
∵，
∴
∴已知所选取该天的热奶茶销售杯数大于120时，销售杯数大于130的概率为.....12分
20.【答案】（1）椭圆的方程为；（2）面积的最大值为：.
【解析】
(1) 由椭圆的离心率为,点在椭圆上得解得所以椭圆的方程为.
(2)易得直线的方程为.
当直线的斜率不存在时，的中点不在直线上，故直线的斜率存在.
设直线的方程为,与联立消得
,
所以.
设,则,.
由,所以的中点,
因为在直线上，所以,解得
所以,得,且,
又原点到直线的距离,
所以，
当且仅当时等号成立，符合,且.
所以面积的最大值为：.
21. 21. 解：（1）（），
若，则，它为上的增函数，
若，则增区间为，减区间为…………3分
（2）
令，，，而.故在单调递增，故…………7分
（3）当时，原不等式等价于，由（2）知，即证
，转化为.
令，，，故也成立. 12分
22、解析：（1），即，又.
直线的直角坐标方程为.
曲线（为参数），消去参数可得曲线的普通方程为.
（2） 由（1）可知，曲线是以为圆心，为半径的圆.
圆心到直线的距离，
点到直线距离的最大值为.
23. 解：(Ⅰ)由得，
所以，解得，
所以，的解集为. …………………………5分
(Ⅱ)恒成立，即恒成立.
当时，；
当时，.
因为(当且仅当，即时等号成立)，
所以，即的最大值是. …………………………10分
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