2019年上海市杨浦区中考数学模拟试卷（3月份）
一．选择题（满分24分，每小题4分）
1．已知＝＝，且b+d≠0，则＝（ ）
A． B． C． D．
2．在比例尺为1：100000的城市交通图上，某道路的长为3厘米，则这条道路的实际距离为（ ）千米．
A．3 B．30 C．3000 D．0.3
3．在△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝，则sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知是一个单位向量，、是非零向量，那么下列等式正确的是（ ）
A．||＝ B．||＝ C． ＝ D． ＝
5．二次函数的复习课中，夏老师给出关于x的函数y＝2kx2﹣（4k+1）x﹣k+1（k为实数）．
夏老师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．
学生独立思考后，黑板上出现了一些结论．夏老师作为活动一员，又补充了一些结论，并从中选择了如下四条：
①存在函数，其图象经过点（1，0）；
②存在函数，该函数的函数值y始终随x的增大而减小；
③函数图象有可能经过两个象限；
④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．
上述结论中正确个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，过点E作AB的平行线交BC于点F，连接CD，交EF于点K，则下列说法正确的是（ ）
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A． B． C． D．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．已知，则的值是 ．
8．如图，已知等边三角形ABC边长为1，△ABC的三条中位线组成△A1B1C1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，依此进行下去得到△A5B5C5的周长为 ．
9．当两个相似三角形的相似比为 时，这两个相似三角形的面积比是1：2．
10．如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为4、5、6，△DEF的最短边长为12，那么△DEF的周长等于 ．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，sin∠ACG＝，则BC长为 ．
12．若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，则此抛物线的对称轴是 ．
13．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么ac 0．（填“＞”，“＝”，或“＜”）
14．若二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上有三个不同的点A（x1，4）、B（x1+x2，n）、C（x2，4），则n的值为 ．
15．如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，如果AB：CD＝2：3，EF
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＝6，那么CD的长等于 ．
16．如图，一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为 米．
17．二次函数y＝x2﹣3x+2的图象不经过第 象限．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，连接CC′，若AC＝4，AB＝1，则△B′C′C的面积为 ．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，CE＝2BE，AC、DE相交于点F．
（1）求DF：EF的值；
（2）如果，，试用、表示向量．
20．（10分）已知二次函数y＝（x﹣1）2+n，当x＝2时，y＝2．求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tanB＝
（1）求AC和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值．
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22．（10分）在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为22°，他正对着城楼前进21米到达C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45°．
（1）求城门大楼的高度；
（2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A，B之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出A，B之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）
23．（12分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若＝，求的值．
24．（12分）已知，如图1，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为C与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx+对称．
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（1）求A、B两点坐标及直线l的解析式；
（2）求二次函数解析式；
（3）如图2，过点B作直线BD∥AC交直线l于D点，M、N分别为直线AC和直线l上的两个动点，连接CN，MM、MD，求CN+NM+MD的最小值．
25．（14分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．
（1）填空：∠AHC ∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；
（3）设AE＝m，
①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．
②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．
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2019年上海市杨浦区中考数学模拟试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（满分24分，每小题4分）
1．【分析】由＝＝，和比例的性质解答即可．
【解答】解：∵＝＝，
∴＝，
故选：A．
【点评】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质解答．
2．【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．
【解答】解：设这条道路的实际长度为x，则＝，
解得x＝300000cm＝3km．
∴这条道路的实际长度为3km．
故选：A．
【点评】此题考查比例线段问题，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．
3．【分析】根据同一锐角的正弦与余弦的平方和是1，即可求解．
【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，即sin2A+（）2＝1，
∴sin2A＝，
解得sinA＝或﹣（舍去），
∴sinA＝．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同角的三角函数，关键是掌握同一锐角的正弦与余弦之间的关系：对任一锐角α，都有sin2α+cos2α＝1．
4．【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．
【解答】解：A、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故本选项错误；
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B、符合向量的长度及方向，故本选项正确；
C、得出的是a的方向不是单位向量，故本选项错误；
D、左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了向量的性质，属于基础题．
5．【分析】①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；
②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；
③根据②即可作出判断；
④当k＝0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断
【解答】解：①将（1，0）代入可得：2k﹣（4k+1）﹣k+1＝0，解得：k＝0，此选项正确．
②当k＝0时，y＝﹣x+1，该函数的函数值y始终随x的增大而减小；此选项正确；
③y＝﹣x+1，经过3个象限，此选项错误；
④当k＝0时，函数无最大、最小值；
k≠0时，y最＝﹣，当k＞0时，有最小值，最小值为负；当k＜0时，有最大值，最大值为正；此选项正确．
正确的是①②④．
故选：C．
【点评】此题考查二次函数的性质，一次函数的性质，利用举特例的方法是解决问题常用方法．
6．【分析】利用相似三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理证明即可；
【解答】解：∵DE∥CF，
∴△DEK∽△CFK，
∴＝，
∵EK∥AD，
∴＝，
∴＝，
故选：C．
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【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．【分析】已知，可设a＝2k，则b＝3k，代入所求的式子即可求解．
【解答】解：∵
∴设a＝2k，则b＝3k．
∴＝＝．
【点评】在解决本题时，根据已知中的比值，把几个未知数用一个未知数表示出来，是解决本题的关键．
8．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出A1B1＝AC，B1C1＝AB，A1C1＝BC，从而得到△A1B1C1是△ABC周长的一半，依此类推，下一个三角形是上一个三角形的周长的一半，根据此规律求解即可．
【解答】解：∵△ABC的三条中位线组成△A1B1C1，
∴A1B1＝AC，B1C1＝AB，A1C1＝BC，
∴△A1B1C1的周长＝△ABC的周长＝×3＝，
依此类推，△A2B2C2的周长＝△A1B1C1的周长＝×＝，
则△A5B5C5的周长为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，求出后一个三角形的周长等于前一个三角形的周长的一半是解题的关键．
9．【分析】直接利用相似三角形的性质分析得出答案．
【解答】解：∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴两个相似三角形的面积比是1：2时，两个相似三角形的相似比为：1：．
故答案为：1：．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形面积比与相似比的关系是解题关键．
10．【分析】根据题意求出△ABC的周长，根据相似三角形的性质列式计算即可．
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【解答】解：设△DEF的周长别为x，
△ABC的三边长分别为4、5、6，
∴△ABC的周长＝4+5+6＝15，
∵△ABC∽△DEF，
∴＝，
解得，x＝45，
故答案为：45．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
11．【分析】延长CG交AB于D，作DE⊥BC于E，由点G是△ABC的重心，得到CG＝2，求得CD＝3，点D为AB的中点，根据等腰三角形的性质得到DC＝DB，又DE⊥BC，求得CE＝BE＝BC，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：延长CG交AB于D，作DE⊥BC于E，
∵点G是△ABC的重心，
∵CG＝2，
∴CD＝3，点D为AB的中点，
∴DC＝DB，又DE⊥BC，
∴CE＝BE＝BC，
∵∠ACG+∠DCE＝∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠ACG＝∠CDE，
∵sin∠ACG＝sin∠CDE＝，
∴CE＝2，
∴BC＝4
故答案为：4．
【点评】
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本题考查的是三角形的重心的概念和性质以及锐角三角函数的定义，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
12．【分析】根据抛物线的对称性即可确定抛物线对称轴．
【解答】解：∵点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，且纵坐标相等．
∴根据抛物线的对称性知道抛物线对称轴是直线x＝＝3．
故答案为：x＝3．
【点评】本题考查了抛物线的对称性，是比较灵活的题目．
13．【分析】观察函数图象，由抛物线的开口方向及抛物线与y轴的交点位置，可得出a＜0，c＞0，进而可得出ac＜0，此题得解．
【解答】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∴ac＜0．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，观察函数图象，找出a＜0，c＞0是解题的关键．
14．【分析】先根据点A，C的坐标，建立方程求出x1+x2＝﹣2，代入二次函数解析式即可得出结论．
【解答】解：∵A（x1，4）、C（x2，4）在二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上，
∴2（x+1）2+3＝4，
∴2x2+4x+1＝0，
根据根与系数的关系得，x1+x2＝﹣2，
∵B（x1+x2，n）在二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上，
∴n＝2（﹣2+1）2+3＝5，
故答案为5．
【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的特点，根与系数的关系，求出x1+x2＝﹣2是解本题的关键．
15．【分析】由△ABE∽△DCE，推出＝＝，可得＝，再证明△BEF∽△BCD，可得＝＝，由此即可解决问题．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
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∴＝＝，
∴＝，
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴＝＝，
∵EF＝6，
∴CD＝15，
故答案为15．
【点评】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．【分析】因为其坡比为1：，则坡角为30度，然后运用正弦函数解答．
【解答】解：因为坡度比为1：，即tanα＝，
∴α＝30°．
则其下降的高度＝72×sin30°＝36（米）．
【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的理解及运用．
17．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以得到该函数图象不经过哪个象限．
【解答】解：∵y＝x2﹣3x+2＝（x﹣）2﹣，
∴该函数图象的顶点坐标为（，﹣）且经过点（0，2），函数图象开口向上，
∴该函数图象不经过第三象限，
故答案为：三．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
18．【分析】先根据旋转的性质得AC＝AC′＝4，AB′＝AB＝1，∠CAC′＝90°，则可判断△ACC′为等腰直角三角形，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′，
∴AC＝AC′＝4，AB′＝AB＝1，∠CAC′＝90°，
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∴△ACC′为等腰直角三角形，
∴S△B′C′C＝S△ACC′﹣S△AB′C′＝×4×4﹣×4×1＝6．
故答案为6．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前、后的图形全等，还考查了三角形的面积，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；
（2）利用三角形法则即可解决问题；
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴，
∵CE＝2BE，
∴，
∴．
（2）∵CE＝2BE，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴＝．
【点评】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．【分析】将（2，2）代入y＝（x﹣1）2+n求得n的值即可，再由函数解析式画出函数图象．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+n，当x＝2时，y＝2，
20
∴2＝（2﹣1）2+n，
解得n＝1，
∴该二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2+1．
列表得：
如图：
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解题的关键．
21．【分析】（1）由tanB＝＝设AC＝3x、BC＝4x，据此得DC＝4x﹣2，根据∠ADC＝45°得AC＝DC，即3x＝4x﹣2，解之得出x的值，继而可得答案；
（2）作DE⊥AB，设DE＝3a、BE＝4a，根据DE2+BE2＝BD2可求得a的值，继而根据正弦函数的定义可得答案．
【解答】解：（1）如图，在Rt△ABC中，
∵tanB＝＝，
∴设AC＝3x、BC＝4x，
∵BD＝2，
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∴DC＝BC﹣BD＝4x﹣2，
∵∠ADC＝45°，
∴AC＝DC，即4x﹣2＝3x，
解得：x＝2，
则AC＝6、BC＝8，
∴AB＝＝10；
（2）作DE⊥AB于点E，
由tanB＝＝可设DE＝3a，则BE＝4a，
∵DE2+BE2＝BD2，且BD＝2，
∴（3a）2+（4a）2＝22，解得：a＝（负值舍去），
∴DE＝3a＝，
∵AD＝＝6，
∴sin∠BAD＝＝．
【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义及根据题意构建直角三角形的能力．
22．【分析】（1）根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意和锐角三角函数可以求得城门大楼的高度；
（2）根据（1）中的结果和锐角三角函数可以求得A，B之间所挂彩旗的长度．
【解答】解：（1）作AF⊥BC交BC于点F，交DE于点E，如右图所示，
由题意可得，CD＝EF＝3米，∠B＝22°，∠ADE＝45°，BC＝21米，DE＝CF，
∵∠AED＝∠AFB＝90°，
∴∠DAE＝45°，
∴∠DAE＝∠ADE，
∴AE＝DE，
设AF＝a米，则AE＝（a﹣3）米，
∵tan∠B＝，
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∴tan22°＝，
即，
解得，a＝12，
答：城门大楼的高度是12米；
（2）∵∠B＝22°，AF＝12米，sin∠B＝，
∴sin22°＝，
∴AB＝32，
即A，B之间所挂彩旗的长度是32米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
23．【分析】（1）由∠AED＝∠B、∠DAE＝∠CAB利用三角形内角和定理可得出∠ADF＝∠C，结合＝，即可证出△ADF∽△ACG；
（2）根据相似三角形的性质可得出＝，由＝可得出＝，再结合FG＝AG﹣AF即可求出的值．
【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，
∴∠ADF＝∠C．
又∵＝，
∴△ADF∽△ACG．
（2）∵△ADF∽△ACG，
∴＝．
∵＝，
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∴＝，
∴＝＝1．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟记相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
24．【分析】（1）y＝ax2+2ax﹣3a，令y＝0，则x＝﹣1或3，即可求解；
（2）设点C的坐标为（﹣1，m），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx+对称得AC2＝AB2，即可求解；
（3）连接BC，则CN+MN的最小值为MB（即：M、N、B三点共线），作D点关于直线AC的对称点Q交y轴于点E，则MB+MD的最小值为BQ（即：B、M、Q三点共线），则CN+MN+MD的最小值＝MB+MD的最小值＝BQ，即可求解．
【解答】解：（1）y＝ax2+2ax﹣3a，令y＝0，则x＝﹣1或3，
即点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0），
点A坐标代入y＝kx+得：0＝﹣3k+，解得：k＝，
即直线l的表达式为：y＝x+…①，
同理可得直线AC的表达式为：y＝x+3，
直线BD的表达式为：y＝…②，
联立①②并解得：x＝3，在点D的坐标为（3，2）；
（2）设点C的坐标为（﹣1，m），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx+对称得AC2＝AB2，
即：（﹣3+1）2+m2＝16，解得：m＝（舍去负值），点C（1，2），
将点C的坐标代入二次函数并解得：a＝﹣，
故二次函数解析式为：y＝﹣x2﹣x+；
（3）连接BC，则CN+MN的最小值为MB（即：M、N、B三点共线），
作D点关于直线AC的对称点Q交y轴于点E，则MB+MD的最小值为BQ（即：B、M、Q
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三点共线），
则CN+MN+MD的最小值＝MB+MD的最小值＝BQ，
∵DQ⊥AC，AC∥BD，∴∠QDB＝90°，
作DF⊥x轴交于点F，
DF＝ADsin∠DAF＝4×＝2，
∵B、C关于直线l对称，即直线l是∠EAF的平分线，
∴ED＝FD＝2，
则QD＝4，BD＝4，
∴BQ＝＝8，
即CN+NM+MD的最小值为8．
【点评】本题为二次函数综合运用，考查的是点的对称性、一次函数等知识点，其中（3）求CN+NM+MD的最小值难度很大，主要是利用两次点的对称求解，本题难度较大．
25．【分析】（1）证明∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，即可推出∠AHC＝∠ACG；
（2）结论：AC2＝AG•AH．只要证明△AHC∽△ACG即可解决问题；
（3）①△AGH的面积不变．理由三角形的面积公式计算即可；
②分三种情形分别求解即可解决问题；
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°∠DAC＝∠BAC＝45°，
∴AC＝＝4，
∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，
∴∠AHC＝∠ACG．
故答案为＝．
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（2）结论：AC2＝AG•AH．
理由：∵∠AHC＝∠ACG，∠CAH＝∠CAG＝135°，
∴△AHC∽△ACG，
＝，
∴AC2＝AG•AH．
（3）①△AGH的面积不变．
理由：∵S△AGH＝•AH•AG＝AC2＝×（4）2＝16．
∴△AGH的面积为16．
②如图1中，当GC＝GH时，易证△AHG≌△BGC，
可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8，
∵BC∥AH，
∴＝＝，
∴AE＝AB＝．
如图2中，当CH＝HG时，
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易证AH＝BC＝4，
∵BC∥AH，
∴＝＝1，
∴AE＝BE＝2．
如图3中，当CG＝CH时，易证∠ECB＝∠DCF＝22.5°．
在BC上取一点M，使得BM＝BE，
∴∠BME＝∠BEM＝45°，
∵∠BME＝∠MCE+∠MEC，
∴∠MCE＝∠MEC＝22.5°，
∴CM＝EM，设BM＝BE＝x，则CM＝EM＝x，
∴x+x＝4，
∴m＝4（﹣1），
∴AE＝4﹣4（﹣1）＝8﹣4，
综上所述，满足条件的m的值为或2或8﹣4．
【点评】
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本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
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