江苏省南通市崇川区2017届九年级数学上学期期末考试试题
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题纸交回．
2．答题前，请务必将自己的班级、姓名用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题纸上指定的位置．
3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题纸相应位置上）
1． 如图，所给图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是
A． B． C． D．
2． 一个袋中只装有3个红球，从中随机摸出一个是红球
A．可能性为 B．属于必然事件
C．属于随机事件 D．属于不可能事件
3． 圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C的度数为
A．20° B．30°
C．70° D．110°
4．如图，抛物线的函数表达式是
第4题图
A．y＝－x2＋x＋2 B．y＝－x2－x＋2
C．y＝x2＋x＋2 D．y＝x2－x＋2
5．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶4 D．4∶1
C
D
A
B
E
6． 在正五边形ABCDE内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，下列作法正确的是
A．连接BD，CE，两线段相交于P点
B．作∠B，∠E的角平分线，交于P点
第6题图
C．作AB，AE的中垂线，交于P点
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D．先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点
7． 小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为
A．cm B．cm C．cm D．cm
8． 若点（，），（，），（，）都是反比例函数＝图象上的点，并且＜0＜＜，则下列各式中正确的是
A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜
9． 如两个不相等的正数a、b满足a＋b＝2，ab＝t－1，设S＝，则S关于t的函数图象是
A．射线(不含端点) B．线段(不含端点) C．直线 D．抛物线的一部分
10．已知点A(－l，m)，B(l，m)，C(2，m＋l)在同一个函数图象上，这个函数图象可以是
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
A B C D
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）
11．点P(2，3)关于原点对称的点的坐标是 ▲ ．
12．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD的度数是 ▲ ．
13．已知点P坐标为(1，1)，将点P绕原点逆时针旋转45°得点P1，则点P1的坐标为 ▲ ．
14．一个二次函数的图象经过（0，0），（－1，－1），（1，9）三点．则这个二次函数的解析式为 ▲ ．
15．学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，小明与小红不同车的概率是 ▲ ．
16．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于 ▲ °．
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第12题图 第16题图 第17题图
17．如图，□ABCD的顶点A，B的坐标分别是A（－1，0），B（0，－2），顶点C，D在双曲线y＝上，边AD交y轴于点E，且四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍，则k＝ ▲ ．
18．若抛物线L：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，abc≠0)与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线l上，则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系，此时，直线l叫做抛物线L的“带线”，抛物线L叫做直线l的“路线”.若直线y＝mx＋1与抛物线y＝x2－2x＋n具有“一带一路”关系，则m＋n＝ ▲ ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本小题满分8分）
（1）如图1，已知四边形ABCD为矩形，AE＝DE，请你用无刻度的直尺找出AD的中点P；
（2）如图2，已知四边形ABCD为矩形，经过A、D两点的圆分别与AB、CD相交于点E、F，请你用无刻度的直尺找出AD的中点P．
图1 图2
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20．（本小题满分10分）
如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝2．将△ABC绕点C顺时针旋转120°得△A′B′C．
（1）求作：△A′B′C；
（2）求点B旋转经过的路径长；
（3）求线段BB′的长；
21．（本小题满分9分）
如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，连接BD、OB.
（1）求证：△AEC∽△DEB；
（2）若CD⊥AB，AB＝8，DE＝2，求⊙O的半径.
22．（本小题满分8分）
甲口袋中装有3个小球，分别标有号码1，2，3；乙口袋装有2个小球，分别标有1，2；这些球除数字外完全相同。从甲、乙两口袋中分别随机地摸出一个小球，则取出的两个小球上的号码恰好相同的概率是多少？
23．（本小题满分9分）
如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数＝的图象经过点A（1，0），与反比例函数＝（＞0）的图象相交于点B（2，1）．
（1）求的值和一次函数的解析式；
（2）结合图象直接写出：当＞0时，不等式＞的解集．
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24．（本小题满分8分）
如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她的脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到大楼顶部．这时∠LMK等于∠SMT吗？如果王青身高1.55m，她估计自己眼睛离地面1.50m，同时量得LM＝30cm，MS＝2m，问这栋楼有多高？
K
25．（本小题满分10分）
如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延长线交于点M，∠COB＝∠APB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）当OB＝3，PA＝6时，求MB、MC的长．
26．（本小题满分10分）
某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500kg，销售价每涨价1元，月销售量就减少10kg．
（1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式．
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
（3）当售价定位多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
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27．（本小题满分12分）
菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°.
（1）连接AC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，DE、DF于点M、N．
①依题意补全图1；
②求MN的长；
（2）如图2，将（1）中∠EDF以点D为中心，顺时针旋转45°，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点Q、P，连接QP，请写出求△DPQ的面积的思路.（可以不写出计算结果）
图1 图2
28．（本小题满分12分）
已知抛物线y＝－x2＋2mx－m2＋的顶点为P．
（1）求证：不论m取何值，点P始终在同一个反比例函数图象上？
（2）若抛物线与x轴交于A、B两点，当m为何值时，线段AB长等于8？
（3）该抛物线上是否存在一点Q，使得△OPQ是以点P为顶点的等腰直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．
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参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．C 2．B 3．D 4．A 5．C
6．A 7．B 8．D 9．B 10．C
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．(－2，－3) 12．32° 13．（0，） 14．y＝4x2＋5x
15． 16．40 17．12 18．0
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．解：（1）
………………………………………………………………………………3分
∴点P即为所求；……………………………………………………………………………4分
（2）
………………………………………………………………………………7分
∴点P即为所求； …………………………………………………………………………8分
20．解：（1）
………………………………………………………………2分
△A′B′C即为所求．………………………………………………………………………………3分
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（2）∵AC＝2，∠B＝90°，∠A＝30°，∴BC＝1．
∴点B旋转的路径＝×2π×1＝π…………………………………………………………6分
（3）如图所示：
在△BCB′中，CB＝CB′，∠BCB′＝120°，AC⊥BB′
∴BE＝．∴BB′＝．………………………………………………………………10分
21．解：（1）根据“同弧所对的圆周角相等”，得∠A＝∠D，∠C＝∠ABD，
∴△AEC∽△DEB.………………………………………………………………………4分
（2）∵CD⊥AB，O为圆心，∴BE＝AB＝4，
设⊙O的半径为r，∵DE＝2，则OE＝r－2，
∴在Rt△OEB中，由勾股定理得：OE2＋EB2＝OB2，
即：(r－2)2＋42＝r2，解得r＝5，即⊙O的半径为5.………………………………9分
22．解：根据题意，可画出树状图如下
………………………………………………………………4分
∴所有可能的结果有6种，从中找出相同的结果2种……………………………………6分
(两个小球的号码相同)＝……………………………………………………………8分
23．解：（1）把点B（2，1）代入＝，得1＝．
∴＝2．……………………………………………………………………………………2分
把A（1，0）和B（2，1）代入＝，得
，解得．
∴一次函数的解析式为＝．…………………………………………………………5分
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（2）＞2．…………………………………………………………………………………9分
24．解：∠LMK＝∠SMT ………………………………………………………………1分
∵∠KLM＝∠TSM＝90°，∠KML＝∠TMS，
∴△KLM∽△TSM，…………………………………………………………………………3分
∴，∴
∴TS＝10（m）………………………………………………………………………………7分
所以这栋楼高为10m． ……………………………………………………………………8分
25．（1）∵AC是⊙O的直径， PA切⊙O于点A，∴PA⊥OA
∴在Rt△MAP中，∠M＋∠P＝90º，而∠COB＝∠APB，∴∠M＋∠COB＝90º ………2分
∴∠OBM＝90º，即OB⊥BP，∴PB是⊙O的切线…………………………………5分
（2）注意到△MOB∽△MPA，且相似比为1 : 2 …………………………………………6分
设MB＝x，则MA＝2x，MO＝2x－3，∴MP＝4x－6，
在Rt△AMP中，(4x－6)2－(2x)2＝62，解得x＝4或0（舍去）………………………9分
∴MB＝4，MC＝2……………………………………………………………………10分
26．（1）y＝－10x2＋1400x－40000；…………………………………………………………4分
（2）由题意：－10x2＋1400x－40000=8000
解得：x1＝60，x2＝80…………………………………………………………………6分
因为x1＝60不合题意，舍去
所以销售单价定为80元．……………………………………………………………8分
（3）70元．…………………………………………………………………………………10分
27．（1）证明：连接BD，设BD交AC于O，
……………………………………………………………………2分
∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝AB，
∴△ABD为等边三角形，AC⊥BD于点O，∠DAC＝∠DAB＝30°．
∴OD＝AD＝．
在Rt△AOD中，OA＝＝．
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∴AC＝2OA＝．
∵DE⊥AB，∴E为AB中点，∵AE∥CD，
∴，同理：，…………………………………………………………5分
∴M、N是线段AC的三等分点，
∴MN＝AC＝．………………………………………………………………………………7分
（2）解：
a．在Rt△DCF中，先求出DF的长；
b．在Rt△DFP中，求出DP的长；……………………………………………………10分
c．通过证明△DQA≌△DPB，证明△DPQ是等边三角形；
d．根据DP的长，计算等边三角形的面积．…………………………………………12分
28．（1）证明：∵y＝－x2＋2mx－m2＋，∴y＝－(x－m)2＋．
∴P(m，)．
∵m×＝1．
∴点P始终在图象上………………………………………………………3分
（2）把y＝0代入y＝－x2＋2mx－m2＋中
－x2＋2mx－m2＋＝0
(x－m)2＝
当m＞0时，x＝m±．
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∴AB＝，∴m＝．………………………………………………………………7分
（3）①当m＞0，∠OPQ＝90°时
如图，可证△OPM≌△PQN．
∵P(m，)，∴Q(m＋，－m)（注：抛物线开口向下，只有这一种情况）
∴－m＝－(m＋－m)2＋，解得m＝1． ……………………………………10分
②当m＜0，∠OPQ＝90°时
∵P(m，)，∴Q(m－，＋m) （注：抛物线开口向下，只有这一种情况）
∴＋m＝－(m－－m)2＋，解得m＝－1．
综上所述：m的值为±1．…………………………………………………………………12分
（说明：本参考答案每题仅提供了一种解法，其它正确解法请参照此评分精神给分）
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