23.2 第4课时 坡角、坡比问题
知|识|目|标
通过对实际问题的分析，会运用解直角三角形的知识解决关于坡度、坡角的实际问题．
目标 会运用解直角三角形解决坡度问题
例1 ［教材补充例题］［2016·合肥市瑶海区二模改编］位于合肥滨湖新区的渡江战役纪念馆，实物图如图23－2－11①，示意图如图②.某学校数学兴趣小组通过测量得知，纪念馆外轮廓斜坡AB的坡度i＝1∶，底基BC＝50 m，∠ACB＝135°.按照下列步骤，求馆顶A离地面BC的距离，结论保留根号．
图23－2－11
(1)构造直角三角形：过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D；(直接把图补充完整)
(2)由∠ACB＝135°可推理出△ACD的形状是____________；
(3)设AD＝x m，则CD＝________m，BD＝________m，根据坡度的定义可列方程为________________，解得x＝________．经检验，x是原方程的解，且符合题意，故馆顶A离地面BC的距离是________m.
例2 ［教材补充例题］如图23－2－12，某拦河坝截面的原设计方案如下：AH∥BC，坡角∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6 m．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A需向右平移至点D，请你计算AD的长．(参考数据：sin74°≈0.961，cos74°≈0.276，tan74°≈3.487，sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，结果精确到0.1 m)
图23－2－12
【归纳总结】解本类型题的关键是化斜为直的思想的应用，即把非直角三角形转化为直角三角形．通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线时要考虑如何充分使用已知条件．
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知识点一 坡度(坡比)、坡角的概念
(1)坡度：在筑坝、开渠、挖河和修路时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度，我们把坡面的垂直高度h与水平长度l的比叫做坡度(或坡比)，用字母表示为 i＝，如图23－2－13.
图23－2－13
(2)坡角：把坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α. 坡度和坡角都是表示斜面的倾斜程度的量．
知识点二 解直角三角形——坡角、坡比问题
开渠、挖河、修坝、楼梯改造等斜坡问题通常利用水平线、铅垂线和斜坡构造直角三角形解答．
用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是什么？
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教师详解详析
【目标突破】
例1 解：(1)如图所示：
(2)等腰直角三角形
(3)x (50＋x) ＝ 25(＋1) 25(＋1)
例2 [解析] 将坝顶与坝脚的距离看成直角三角形的斜边，将坡角看成直角三角形的一个锐角，分别作AE，DF垂直于BC，构造直角三角形，求出BE，BF，进而得到AD的长．
解：如图所示，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F.
在Rt△ABE中，sin∠ABE＝，∴AE＝AB·sin∠ABE＝6sin74°≈5.77(m)．∵cos∠ABE＝，
∴BE＝AB·cos∠ABE＝6cos74°≈1.66(m)．
∵AH∥BC，∴DF＝AE≈5.77 m.
在Rt△BDF中，tan∠DBF＝，
∴BF＝≈≈4.04(m)，
∴AD＝EF＝BF－BE≈4.04－1.66≈2.4(m)．
【总结反思】
[反思] 基本方法如下图：
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(1)把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，即借助数学基本概念(如俯角、仰角、坡角、坡度、方向角等)把实际问题中的位置关系转化为数学图形，把实际问题中的信息转化为数学问题中的已知条件；
(2)当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形，再求解；
(3)在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，要根据题意取近似值．
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