湖北省十堰市2017-2018学年第一学期期末考试九年级数学试卷
注意事项：
1．本卷共有4页，共有25小题，满分120分，考试时限120分钟．
2．答题前，考生将班级、姓名写在答题卡指定的位置．
3．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只上交答题卡．
一、选择题（本题共 10 题，每小题 3 分，共 30 分）
下列各题均有四个备选答案， 其中有且仅有个答案是正确的， 请用2B铅笔在答题卡上将正确的答案代号涂黑.
1．方程x2＝2x的解为( )
A．x＝2 B．x＝ C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝， x2＝0
2．下列关于反比例函数的说法不正确的是( )
A．其图象经过点(－2，1) B．其图象位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x增大而增大 D．当x＞－1时，y＞2
3．下列说法中错误的是( )
A．必然事件发生的概率为1 B．不可能事件发生的概率为0
C．随机事件发生的概率大于等于0、小于等于1 D．概率很小的事件不可能发生
4．如图，在平面直角坐标系中，其中一个三角形是由另一个三角形绕某点旋转一定的角度得到的，则其旋转中心是( )
A．(1，0) B．(0，0) C．(－1，2) D．(－1，1)
（第6题图）
（第5题图）
（第4题图）
5．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．
已知∠A＝30°，则∠C的大小是( )
A．30° B．45° C．60° D．40°
6．如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1，
则S1＋S2等于( )
A．6 B．5 C．4 D．3
7．甲、乙、丙三人参加数学、物理、英语三项竞赛，每人限报一项，每项限报一人，则甲报英语、乙报数学、丙报物理的概率是( )
A． B． C． D．
8．如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC＝140°，则∠BIC的度数为( )
（第8题图）
（第9题图）
（第10题图）
A．110° B．125° C．130° D．140°
9．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a＋b＋c＝2；
③；④b＜1．其中正确的结论个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D＝30°，
下列四个结论：①OA⊥BC；②BC＝6cm；③弦BC与⊙O直径的比为；④四边形ABOC是菱形．
其中正确结论的序号是( )
A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
二、填空题：（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．若代数式x2＋4x－2的值为3，则x的值为____________．
12．从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机取三条，能构成三角形的概率是________．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转到△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为________．
14．已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(b≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图象相交于点A(－2，4)，B(8，2)，如图所示，则使y1＞y2成立的x的取值范围是________．
15．如图，直线AB切⊙O于C点，D是⊙O上一点，∠EDC＝30°，弦EF∥AB，连接OC交EF于H点，连接CF，若CF＝5，则HE的长为________．
（第14题图）
（第16题图）
（第15题图）
（第13题图）
16．如图，点A(m，6)，B(n，1)在反比例函数的图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，
点E在CD上，CD＝5，△ABE的面积为10，则点E的坐标是_____________．
三、解答题（本题有9个小题，共72分）
（第17题图）
17．(本题满分6分)如图， 已知反比例函数的图象的一支位于第一象限．
(1)该函数图象的另一分支位于第_____象限，m的取值范围是____________；
(2)已知点A在反比例函数图象上，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为3，求m的值．
（第18题图）
18．(本题满分6分) 如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE、FG相交于点H．判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由．
19．(本题满分7分
)一布袋中放有红、黄、白三种颜色的球各一个，它们除颜色外其他都一样，小敏从布袋中摸出一球后放回，摇匀后再摸出一球，请用列举法（列表或画树形图）求小敏两次都能摸到黄球的概率．
20．(本题满分7分) AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
(1)若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（第20题图）
(2)若AB＝4，AC＝3，求DE的长．
21．(本题满分8分）已知关于x的一元二次方程x2－(a－3)x－a＝0．
(1) 求证：无论a取何值时，该方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若该方程两根的平方和为6，求a的值．
22． (本题满分8分）某校九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：
时间x(天)
1≤x＜50
50≤x≤90
售价(元/件)
x＋40
90
每天销量(件)
200－2x
200－2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少?
(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果．
23．(本题满分8分）已知关于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0有两个不相等的实数根，且两个实数根都在－1和0之间(不包含－1和0)，求a的取值范围．
24．(本题满分10分)如图在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以AO为半径的⊙O交AB于D，
BD的垂直平分线交BD于F，交BC于E，连接DE．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
（第24题图）
(2)若∠B＝30°，BC＝，且AD∶DF＝1∶2，求⊙O的直径．
25．(本题满分12分）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，点B(3，0)和点C(0，3)．
(1)求抛物线的解析式和顶点E的坐标；
(2)点C是否在以BE为直径的圆上?请说明理由；
(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，点R是抛物线上一动点，是否存在点Q、R，使以Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出点Q、R的坐标，若不存在，请说明理由．
（第25题图）
2017—2018学年第一学期期末考试
九年级数学参考答案及评分标准(共3页)
一、选择题(10×3分＝30分)
1．C； 2．D； 3．D； 4．C； 5．A； 6．A； 7．B； 8．B； 9．B； 10．B．
二、填空题(6×3分=18)
11．1或－5； 12．； 13．60°； 14．x＜－2或x＞8； 15．； 16．E(3，0)．
三、解答题(72分)
17．(6分)解：(1)三，m＞7；…………………………………………………………………………3分
(2)设A(a，b)，则AB＝b，OB＝a
由△AOB的面积为3，得ab＝3，∴ab＝6……………………………………………………………5分
即m－7＝6，∴m＝13． …………………………………………………………………………………3分
（第18题图）
18．(6分)解：DE⊥FG．…………………………………………………1分
理由：由题知：Rt△ABC≌Rt△BDE≌Rt△FEG
∴∠A＝∠BDE＝∠GFE ……………………………………………………3分
∵∠BDE＋∠BED＝90°
∴∠GFE＋∠BED＝90°，即DE⊥FG． …………………………………6分
19．(7分)解：画树形图：(红球记为R，黄球记为H，白球记为B)
第一次摸球：
第二次摸球： ……………………………………………………………5分
共有9种等可能性，其中两次都摸到黄球只有1种情况．…………………………………………6分
∴P(两次都摸到黄球)＝．……………………………………………………………………………7分
20．(7分)解：(1) 连OC，则∠B＝∠BCO
∵OD∥BC，∴∠COD＝∠OCB＝∠B＝70°
∴∠CAD＝∠COD＝35°．……………………………………………3分
(2)∵OD∥BC，∴∠B＝∠AOD，∠COD＝∠OCB
∵∠B＝∠BCO，∴∠AOD＝∠COD，∴OD⊥AC，AE＝EC ………………………………………4分
在Rt△AOE中：OE＝………………………………………………6分
∴DE＝DO－OE＝2－．………………………………………………………………………………7分
21．(8分) (1) 证明：∵△＝＞0…………………3分
∴无论a取何值时，该方程总有两个不相等的实数根；………………………………………………4分
(2)设方程两根分别为x1，x2，则，……………………………………………5分
∵ …………………………………………………………………………6分
∴，即 ………………………………………………………………7分
解得：a＝1或a＝3…………………………………………………………………………………………8分
22．(8分)解：(1)①当1≤x＜50时，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2000
②当50≤x≤90时，y＝(200－2x)(90－30)＝－120x＋12000
综上所述：y＝； ……………………………………………………2分
(2)①当1≤x＜50时， y＝－2x2＋180x＋2000
∵a＝－2＜0，∴二次函数开口向下，二次函数对称轴为x＝＝45
∴当x＝45时，y最大值＝－2×452＋180×45＋2000＝6050………………………………………………4分
②当50≤x≤90时，y＝－120x＋12000，∵k＝－120＜0， ∴y随x的增大而减小，
∴当x＝50时， y最大值＝6000……………………………………………………………………………5分
综上所述，该商品销售到第45天时，利润最大，最大利润是6050元； …………………………6分
(3)当20≤x≤60时，每天销售利润不低于4800元．…………………………………………………8分
23．(8分)解：∵关于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0有两个不相等的实数根
∴△＝，解得，a＞ …………………………………………………………3分
令y＝ax2－3x－1，则该二次函数的图象与y轴交于(0，－1) ………………………………………4分
∵方程ax2－3x－1＝0的两个实数根都在－1和0之间
∴二次函数y＝ax2－3x－1与x轴两交点的横坐标都在－1和0之间
∴a＜0，其大致图象如图所示：
当x＝－1时，y＝ax2－3x－1＝a＋2＜0
解得，a＜－2………………………………………………………………………………………………7分
综上可得：＜a＜－2． ………………………………………………………………………………8分
24．(10分) (1)证明：连OD．
∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA………………………………………………1分
∵EF垂直平分DB，∴ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD ………………………2分
又∵∠A＋∠B＝90°，∴∠ODA＋∠EDB＝90°
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE ………………………………………………3分
∵点D在⊙O上， ∴DE是⊙O的切线．………………………………………………………………4分
(2)解：∵∠B，∴∠ A＝60°，∴△OAD是等边三角形………………………………………………5分
在Rt△ABC中：设AC＝x，则AB＝2x，由勾股定理，得
解得，x＝4，∴AC＝4，AB＝8……………………………………………………………………………6分
设AD＝m，则DF＝BF＝2m
由AB＝AD＋2DF＝m＋4m＝8，得m＝ ………………………………………………………………7分
∴⊙O的直径＝2AD＝． ………………………………………………………………………………8分
25．(12分) (1) 将A(－1，0)，B(3，0)和C(0，3)代入y＝ax2＋bx＋c
得……………………………………………………………………………………………1分
解得 …………………………………………………………………………………………………2分
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，顶点E的坐标为(1，4)． ………………………………………3分
(2)点C在以BE为直径的圆上，理由如下： ………………………………………………………………4分
如图，过点E分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别F、G．
在Rt△BOC中，OB＝3，OC＝3，∴BC2＝18………………………………………………………………5分
在Rt△CEG中，EG＝1，CG＝OG－OC＝4－3＝1，∴CE2＝2 …………………………………………6分
在Rt△BFE中，FE＝4，BF＝OB－OF＝3－1＝2， ∴BE2＝20 …………………………………………7分
∴BC2＋CE2＝BE2
故△BCE为直角三角形，点C在以BE为直径的圆上．……………………………………………………8分
(3)存在，点Q、R的坐标分别为Q1(1，－2)，R1(4，－5)； ……………………………………………10分
Q2(1，－8)，R2(－2，－5)；R3(2，3)，Q3(1，0)．…………………………………………………………12分
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