湛江市2017—2018学年度第一学期期末调研考试
高中数学(必修⑤、选修2-1)试卷
说明：本卷满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“若，则”的否命题是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．抛物线的焦点坐标是
A． B． C． D．
3．已知等比数列，，，则
A． B． C． D．
4．在中，角，，的对边长分别为，，，，，，则
A． B． C． D．
5．若，为实数，则“”是“”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．椭圆的一个焦点为，且，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
7．在空间四边形中，，在线段上，且，
为的中点，则
A． B． C． D．
8．设，，若是与的等比中项，则的最小值为
A． B． C． D．
9．已知等差数列中，前项和为，，则当取最大值时，
A． B． C． D．
10．不等式组表示的平面区域的面积为
A． B． C． D．
11．已知直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是
A． B． C． D．且
12．在三棱柱中，点E、F、H、K分别为、、、的中点，为Δ的重心，有一动点在三棱柱的面上移动，使得该棱柱恰有条棱与平面平行，则以下各点中，在点的轨迹上的点是
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，，，若，则 ．
14．等差数列中, ，，则的通项公式为 ．
15．已知命题，，若命题是假命题，则实数的取值范围是 ．（用区间表示）
16．已知，式中变量，满足下列条件： ，若的最大值为，则的值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知命题：指数函数 是上的增函数，命题：方程表示双曲线．
（Ⅰ）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．
18.（本小题满分12分）
已知的三个内角，，的对边长分别为，，，．
（Ⅰ）若，请判断三角形的形状；
（Ⅱ）若，，求的边的大小．
19．（本小题满分12分）
已知等差数列的前项和为，且，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，椭圆的左焦点为，左顶点为，上、下顶点分别为．
（Ⅰ）若直线经过中点M，求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若直线的斜率为1，与椭圆的另一交点为D，椭圆的右焦点为，求三角形的面积．
21．（本小题满分12分）
某农场计划种植甲、乙两个品种的水果，总面积不超过亩，总成本不超过万元．甲、乙两种水果的成本分别是每亩元和每亩元．假设种植这两个品种的水果，能为该农场带来的收益分别为每亩万元和每亩万元．问该农场如何分配甲、乙两种水果的种植面积，可使农场的总收益最大？最大收益是多少万元？
22．（本小题满分12分）
P
A
B
C
D
如图，四棱锥中，底面为矩形，平面平面，
，.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
湛江市2017—2018学年度第一学期期末调研考试
高中数学必修5及选修2-1试题 参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
B
D
C
D
C
A
B
A
C
D
B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15． 16．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
解：（Ⅰ）命题p为真命题时，2－a＞1，即a＜1. ……………………2分
（Ⅱ）若命题为真命题，则，所以， ……………………4分
因为命题“”为真命题，则至少有一个真命题，
“”为假命题，则至少有一个假命题，
所以一个为真命题，一个为假命题 ……………………6分
当命题为真命题，命题为假命题时，，则；
当命题为假命题，命题为真命题时，，则． ………………9分
综上，实数的取值范围为． ……………………10分
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由，，……………………3分
得，，…………………………………………………5分
又，
∴ 三角形是等边三角形. ……………………………………………………6分
（Ⅱ）由，得，……………………………………………………7分
又，
∴ ……………………………………………8分
…………………………………………10
分
由正弦定理得． ………………………………………12分
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则由条件得
，…………………………………2分
解得， ……………………………………3分
所以错误！不能通过编辑域代码创建对象。通项公式，即……………………4分
（Ⅱ）令，解得， …………………5分
∴ 当时，；当时， …………………6分
∴…………………8分
…………………10分
………………………………12分
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意，，
又，所以，直线：． …………………2分
M为的中点，所以，
代入直线：，则， …………………4分
由，所以，
所以椭圆E的标准方程是． …………………6分
（Ⅱ）因为直线的斜率为，则，所以椭圆，………8分
又直线：，
x
y
O
A
B
C
D
由 解得（舍），或，
所以． ………………………………10分
因为，
所以三角形的面积为． ………………………12分
21．（本小题满分12分）
解：设甲、乙两种水果的种植面积分别为x，y亩，农场的总收益为z万元，则 ………………1分
y
x
M
O
400
500
400
300
100
200
100
200
300
………① …………4分
目标函数为， ……………5分
不等式组①等价于
可行域如图所示，……………………………7分
目标函数可化为
由此可知当目标函数对应的直线经过点M时，目标函数取最大值．………………………9分
解方程组 得
的坐标为．…………………………………………………………………………10分
所以．………………………………………………………11分
答：分别种植甲乙两种水果75亩和225亩，可使农场的总收益最大，最大收益为67.5万元．
………………………………………………………………………………12分
P
A
B
C
D
H
M
22．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：取的中点M，连结. ……1分
由，得，
由，得， ……………………………2分
且.
平面.…………………………………………………………………………3分
平面，
. …………………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）在平面中，过点作于点， 连结，交于.
…………………………………………………………………………………………………5分
∵平面平面，平面平面，
∴平面.
. …………………………………………………………………………………6分
由（1）及，
平面，
P
A
B
C
D
H
O
x
y
z
，…………………………………………………………………………………7分
在中，，即.
，.
在中，，.
.………………………………8分
以D为坐标原点，DA，DC所在的直线为x ，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，..
，.…………………………………………9分
设平面的法向量是，则
，，
即，得其中一个法向量为. …………………………10分
设直线与平面所成角为，又，则.
直线与平面所成角的正弦值为.……………………………………………………12分
注意：以上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分．
微信/支付宝扫码支付