扬州市2017—2018学年度第一学期期末检测试题
高 二 数 学
2018．1
（满分160分，考试时间120分钟）
注意事项：
1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．
2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．命题“R，”的否定是 ▲ ．
2．直线在轴上的截距为 ▲ ．
3．抛物线的焦点坐标为 ▲ ．
4．曲线在处的切线方程为 ▲ ．
5．在边长为2的正方形内随机取一点，取到的点到正方形中心的距离大于1的概率为 ▲ ．
6．某校学生高一年级有400人，高二年级有300人，高三年级有200人，现用分层抽样的方法从所有学生中抽取一个容量为的样本．已知从高三学生中抽取的人数为10，那么= ▲ ．
7．执行如图所示的程序框图，输出的值为 ▲ ．
开始
输出s
结束
N
Y
8．已知函数的定义域为，集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ▲ ．
9． 已知椭圆上的点到右焦点的距离为2，则点到左准线的距离为 ▲ ．
10．已知双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为 ▲ ．
11．已知函数的定义域为R，是的导函数，且，，则不等式的解集为 ▲ ．
12．已知，，动点满足．设点到点的距离为，则的取值范围为 ▲ ．
13．斜率为直线经过椭圆的左顶点，且与椭圆交于另一个点，若在 轴上存在点使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率
为 ▲ ．
14． 已知函数在的值域为，则实数的最小值为 ▲ ．
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分14分）
已知命题：“椭圆的焦点在轴上”；命题：“关于的不等式在R上恒成立”．
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2） 若命题“或”为真命题、“且”为假命题，求实数的取值范围．
16．（本题满分14分）
为了让学生更多地了解“数学史”知识，某班级举办一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”
的数学史知识竞赛活动．现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表：
序号
分数段
人数
频率
1
10
0.20
2
①
0.44
3
②
③
4
4
0.08
合计
50
1
（1）填充上述表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；
（2）若利用组中值近似计算数据的平均数，求此次数学史初赛的平均成绩；
（3）甲同学的初赛成绩在，学校为了宣传班级的学习经验，随机抽取分数在的4位同学中的两位同学到学校其他班级介绍，求甲同学被抽取到的概率．
17．（本题满分14分）
已知圆的半径为3，圆心在轴正半轴上，直线圆相切．
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆交于不同的两点且，求的值．
18．（本题满分16分）
某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量（万只）与时间（年）（其中）的关系为．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值（其中为常数，且）来进行生态环境分析．
（1）当时，求比值取最小值时的值；
（2）经过调查，环保部门发现：当比值不超过时不需要进行环境防护．为确保恰好3年不需要进行保护，求实数的取值范围．（为自然对数的底，）
19．（本题满分16分）
已知椭圆的右准线方程为，又离心率为，椭圆的左顶点为，上顶点为，点为椭圆上异于任意一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值．
20．（本题满分16分）
已知：函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数，讨论的单调性；
（3）若函数的图象与轴交于两点，且．设，其中常数、满足条件，且．试判断在点处的切线斜率的正负，并说明理由．
扬州市2017—2018学年度第一学期期末检测试题
高 二 数 学 参 考 答 案 2018．1
1．R， 2． 3． 4． 5． 6．45 7．
8． 9．4 10． 11． 12． 13． 14．
15．解：（1）真：椭圆的焦点在轴上 ∴ …………5分
（2）∵“或”为真命题、“且”为假命题 ∴真假或假真………………7分
真：∵关于的不等式在R上恒成立
∴，解得： ……………………11分
∴或 解得：或
∴实数a的取值范围是或． ……………………14分
16．解：（1）①22；②14；③0.28； ……………………3分
（2）； ……………………8分
（3）记“甲同学被抽取到”为事件，设四名学生为甲、乙、丙、丁，则总的基本事件为：
甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6个基本事件；满足事件的基本事件：甲乙、
甲丙、甲丁，共3个基本事件，则 ……………………13分
答：此次数学史初赛的平均成绩为，甲同学被抽取到的概率为．……………………14分
17．解：（1）设，∵直线圆相切，且圆的半径为3
∴，解得或 ∵ ∴ ……………………5分
∴圆的方程为：； ……………………7分
（2）若直线的斜率不存在，则直线∴，不符合题意，舍；
若直线的斜率存在，设：
∵ ∴点到直线的距离为，即，
化简得： ∴ ……………………9分
联立方程：，消去得：∴ ……14分
18．解：（1）当时，，∴……………………3分
列表得：
2
0
单调减
极小值
单调增
…………………6分
∴在上单调减，在上单调增 ∴在时取最小值；……………………8分
（2）∵ 根据（1）知：在上单调减，在上单调增
∵确保恰好3年不需要进行保护 ∴，解得：
答：实数的取值范围为． ……………………16分
19．解：（1）∵椭圆的右准线方程为 ∴ ∵离心率为 ∴
∴ ∴ ∴椭圆的方程为：； ………………6分
（2）方法（一）设点 ，则，，即．
当时，，则， ∴………………8分
∵点异于点 ∴
当且时，设直线方程为：，它与轴交于点
直线方程为：，它与轴交于点
∴，…………12分
∴
为定值． ……………………16分
方法（二）若直线斜率不存在，则直线方程为：，此时，则，
∴ ………………8分
若直线斜率存在，设直线方程为：，且
∴且 ………………10分
则联立方程：，消去得：，解得： 或，
即点 ∵点异于点∴
∴
∴直线的方程为：，
则且
………………14分
∴为定值． ………………16分
20．解：（1）当时， ∴，令，则，列表得：
1
0
单调减
极小值
单调增
∴有极小值，无极大值； ……………………3分
（2），∴，设
①当时，恒成立，即恒成立，∴在上单调减；
②当且，即时，恒成立，且不恒为0，则恒成立，且不恒为0，∴在上单调减；
③当且，即时，
有两个实数根：，且
∴ ∴当或时，，；当时，，；
∴在和上单调减，在上单调增．
∴综上：当时，在上单调减；当时，在和上单调减，在上单调增． ……………………7分
（3），，问题即为判断的符号．
∵函数的图象与轴交于两点，且
∴ 两式相减得：
∴ ……………………9分
∴
∵且 ∴ ∵ ∴………………11分
研究：的符号，即判断的符号．
令，，设
∴
方法（一）设，其对称轴为：
∴在上单调减，则，即在上恒成立 ∴在上单调增 ∴，即 ……………14分
∵ ∴
∴，即
∴在点处的切线斜率为正． ……………………16分
方法（二）
∵， ∴ ∴在上恒成立
∴在上单调增 ∴，即 ……………14分
∵ ∴
∴，即
∴在点处的切线斜率为正． ……………………16分
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