2017-2018学年广东省梅州市大埔县九年级（上）期末数学试卷
一．选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A． B． C． D．﹣
2．（3分）一组数据2，3，5，7，8的平均数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（3分）C919大飞机是中国完全具有自主知识产权的干线民用飞机，其零部件总数超过100万个，请将100万用科学记数法表示为（ ）
A．1×106 B．100×104 C．1×107 D．0.1×108
4．（3分）下列几何体中，其主视图为三角形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3=a6 B．（﹣a2）3=﹣a5
C．a10÷a9=a（a≠0） D．（﹣bc）4÷（﹣bc）2=﹣b2c2
6．（3分）若分式的值为零，则x的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
7．（3分）若a+b=3，a2+b2=7，则ab等于（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
8．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1=∠4
C．∠3+∠4=180° D．∠2=30°，∠4=35°
9．（3分）若关于x的一元二次方程kx2
﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜﹣1 D．k＜﹣1或k=0
10．（3分）小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器．然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是（ ）
A．B．
C．D．
二．填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：2x3﹣8x= ．
12．（4分）不等式2x+1＞0的解集是 ．
13．（4分）一个不透明的口袋中有6个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，6，从中随机摸取一个小球，取出的小球标号恰好是偶数的概率是 ．
14．（4分）在平面直角坐标系中，已知一次函数y=x﹣1的图象经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1 y2（填“＞”，“＜”或“=”）
15．（4分）已知α，β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为 ．
16．（4分）在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE+DF= ．
三．解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）计算：（﹣2017）0﹣sin30°++2﹣1．
18．（6分）解方程组：．
19．（6分）解不等式：≤．
四．解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20．（7分）已知：如图，E，F为▱ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF．
21．（7分）某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2h，求汽车原来的平均速度．
22．（7分）某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图．
请结合以上信息解答下列问题：
（1）m= ；
（2）请补全上面的条形统计图；
（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为 ；
（4）已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有 名学生最喜爱足球活动．
五、解答题（三）（本大题3小題，每小题9分，共27分）
23．（9分）已知，一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=（k≠0）都经过点A （a，2）．
（1）求a的值及反比例函数的表达式；
（2）判断点B（2，）是否在该反比例函数的图象上，请说明理由．
24．（9分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连结CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G．
（1）求证：△CDE≌△CBF；
（2）当DE=时，求CG的长；
（3）连结AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．
25．（9分）抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）该抛物线与直线y=x+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．
①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；
②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
2017-2018学年广东省梅州市大埔县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A． B． C． D．﹣
【解答】解：∵﹣与是只有符号不同的两个数，
∴﹣的相反数是．
故选C．
2．（3分）一组数据2，3，5，7，8的平均数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：数据2，3，5，7，8的平均数==5．
故选D．
3．（3分）C919大飞机是中国完全具有自主知识产权的干线民用飞机，其零部件总数超过100万个，请将100万用科学记数法表示为（ ）
A．1×106 B．100×104 C．1×107 D．0.1×108
【解答】解：将100万用科学记数法表示为：1×106．
故选：A．
4．（3分）下列几何体中，其主视图为三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、圆柱的主视图为矩形，
∴A不符合题意；
B、正方体的主视图为正方形，
∴B不符合题意；
C、球体的主视图为圆形，
∴C不符合题意；
D、圆锥的主视图为三角形，
∴D符合题意．
故选D．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3=a6 B．（﹣a2）3=﹣a5
C．a10÷a9=a（a≠0） D．（﹣bc）4÷（﹣bc）2=﹣b2c2
【解答】解：A、a2•a3=a5，故A错误；
B、（﹣a2）3=﹣a6，故B错误；
C、a10÷a9=a（a≠0），故C正确；
D、（﹣bc）4÷（﹣bc）2=b2c2，故D错误；
故选C．
6．（3分）若分式的值为零，则x的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
【解答】解：∵分式的值为零，
∴|x|﹣1=0，x+1≠0，
解得：x=1．
故选：A．
7．（3分）若a+b=3，a2+b2=7，则ab等于（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【解答】解：∵a+b=3，
∴（a+b）2=9，
∴a2+2ab+b2=9，
∵a2+b2=7，
∴7+2ab=9，
∴ab=1．
故选：B．
8．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1=∠4
C．∠3+∠4=180° D．∠2=30°，∠4=35°
【解答】解：∵∠1=∠4，
∴a∥b（同位角相等两直线平行）．
故选B．
9．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜﹣1 D．k＜﹣1或k=0
【解答】解：根据题意得k≠0且△=（﹣2）2﹣4k•（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
故选B．
10．（3分）小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器．然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：一注水管向小玻璃杯内注水，水面在逐渐升高，当小杯中水满时，开始向鱼缸内流，这时水位高度不变，
当鱼缸水面高度与小杯一样后，再继续注水，水面高度在升高，升高的比开始慢．
故选：D．
二．填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：2x3﹣8x= 2x（x﹣2）（x+2） ．
【解答】解：2x3﹣8x，
=2x（x2﹣4），
=2x（x+2）（x﹣2）．
12．（4分）不等式2x+1＞0的解集是 x＞﹣ ．
【解答】解：原不等式移项得，
2x＞﹣1，
系数化为1，得，
x＞﹣．
故答案为x＞﹣．
13．（4分）一个不透明的口袋中有6个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，6，从中随机摸取一个小球，取出的小球标号恰好是偶数的概率是 ．
【解答】解：∵共有6个完全相同的小球，其中偶数有2，4，6，共3个，
∴从中随机摸取一个小球，取出的小球标号恰好是偶数的概率是=；
故答案为：．
14．（4分）在平面直角坐标系中，已知一次函数y=x﹣1的图象经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1 ＜ y2（填“＞”，“＜”或“=”）
【解答】解：∵一次函数y=x﹣1中k=1，
∴y随x值的增大而增大．
∵x1＜x2，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
15．（4分）已知α，β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为 0 ．
【解答】解：根据题意得α+β=3，αβ=﹣4，
所以原式=a（α+β）﹣3α
=3α﹣3α
=0．
故答案为0．
16．（4分）在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE+DF= 2 ．[来源:学#科#网]
【解答】解：如图，作AG⊥BC于G，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴AG=AB=2，
连接AD，则S△ABD+S△ACD=S△ABC，
∴AB•DE+AC•DF=BC•AG，
∵AB=AC=BC=4，
∴DE+DF=AG=2，
故答案为：2．
三．解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）计算：（﹣2017）0﹣sin30°++2﹣1．
【解答】解：原式=1﹣+2+
=1+2．
18．（6分）解方程组：．
【解答】解：，
①+②得到，3x=6，x=2，
把x=2代入①得到y=1，
∴．
19．（6分）解不等式：≤．
【解答】解：去分母得：3（x﹣2）≤2（7﹣x），
去括号得：3x﹣6≤14﹣2x，
移项合并得：5x≤20，
解得：x≤4．
四．解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20．（7分）已知：如图，E，F为▱ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC．
∴∠BAE=∠DCF．
在△AEB和△CFD中，，
∴△AEB≌△CFD（SAS）．
∴BE=DF．
21．（7分）某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2h，求汽车原来的平均速度．
【解答】解：设汽车原来的平均速度是x km/h，
根据题意得：﹣=2，
解得：x=70
经检验：x=70是原方程的解．
答：汽车原来的平均速度70km/h．
22．（7分）某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图．
请结合以上信息解答下列问题：
（1）m= 150 ；
（2）请补全上面的条形统计图；
（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为 36° ；
（4）已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有 240 名学生最喜爱足球活动．
【解答】解：（1）m=21÷14%=150，
（2）“足球“的人数=150×20%=30人，
补全上面的条形统计图如图所示；
（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为360°×=36°；
（4）1200×20%=240人，
答：估计该校约有240名学生最喜爱足球活动．
故答案为：150，36°，240．
五、解答题（三）（本大题3小題，每小题9分，共27分）
23．（9分）已知，一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=（k≠0）都经过点A （a，2）．
（1）求a的值及反比例函数的表达式；
（2）判断点B（2，）是否在该反比例函数的图象上，请说明理由．
【解答】解：（1）将A（a，2）代入y=x+1中得：2=a+1，
解得：a=1，即A（1，2），
将A（1，2）代入反比例解析式中得：k=2，
则反比例解析式为y=；
（2）在函数图象上，理由如下：
将x=2代入反比例解析式得：y==，
则点B在反比例图象上．
24．（9分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连结CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G．
（1）求证：△CDE≌△CBF；
（2）当DE=时，求CG的长；
（3）连结AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．
【解答】解：（1）如图，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠CBF=180°﹣∠ABC=90°，∠1+∠2=∠DCB=90°，
∵CF⊥CE，
∴∠ECF=90°，
∴∠3+∠2=∠ECF=90°，
∴∠1=∠3，
在△CDE和△CBF中，，
∴△CDE≌△CBF，
（2）在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴△GBF∽△EAF，
∴，
由（1）知，△CDE≌△CBF，
∴BF=DE=，
∵正方形的边长为1，
∴AF=AB+BF=，AE=AD﹣DE=，
∴，
∴BG=，
∴CG=BC﹣BG=；
（3）不能，
理由：若四边形CEAG是平行四边形，则必须满足AE∥CG，AE=CG，
∴AD﹣AE=BC﹣CG，
∴DE=BG，
由（1）知，△CDE≌△CBF，
∴DE=BF，CE=CF，
∴△GBF和△ECF是等腰直角三角形，
∴∠GFB=45°，∠CFE=45°，
∴∠CFA=∠GFB+∠CFE=90°，
此时点F与点B重合，点D与点E重合，与题目条件不符，
∴点E在运动过程中，四边形CEAG不能是平行四边形．
25．（9分）抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）该抛物线与直线y=x+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．
①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；
②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：
（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0），
∴，解得，
∴该抛物线对应的函数解析式为y=x2﹣x+3；
（2）①∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，
∴可设P（t， t2﹣t+3）（1＜t＜5），
∵直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N，
∴M（t，0），N（t， t+3），
∴PN=t+3﹣（t2﹣t+3）=﹣（t﹣）2+
联立直线CD与抛物线解析式可得，解得或，
∴C（0，3），D（7，），
分别过C、D作直线PN的直线，垂足分别为E、F，如图1，
则CE=t，DF=7﹣t，
∴S△PCD=S△PCN+S△PDN=PN•CE+PN•DF=PN= [﹣（t﹣）2+]=﹣（t﹣）2+，
∴当t=时，△PCD的面积有最大值，最大值为；
②存在．
∵∠CQN=∠PMB=90°，
∴当△CNQ与△PBM相似时，有或=两种情况，
∵CQ⊥PM，垂足为Q，
∴Q（t，3），且C（0，3），N（t， t+3），
∴CQ=t，NQ=t+3﹣3=t，
∴=，
∵P（t， t2﹣t+3），M（t，0），B（5，0），
∴BM=5﹣t，PM=0﹣（t2﹣t+3）=﹣t2+t﹣3，
当时，则PM=BM，即﹣t2+t﹣3=（5﹣t），解得t=2或t=5（舍去），此时P（2，﹣）；
当=时，则BM=PM，即5﹣t=（﹣t2+t﹣3），解得t=或t=5（舍去），此时P（，﹣）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（2，﹣）或（，﹣）．
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