河北省武邑中学2017-2018学年高二上学期期末考试
数学(文)试题
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 若,则( )
A. B. C. D.
2.抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
3.已知直线的参数方程为(为参数),则直线的普通方程为( )
A. B. C. D.
4.观察下列各图,其中两个分类变量之间关系最强的是( )
A. B. C. D.
5.椭圆(是参数)的离心率是( )
A. B. C. D.
6.若是正数,且,则有( )
A.最大值16 B.最小值 C. 最小值16 D.最大值
7.清代著名数学家梅彀成在他的《增删算法统宗》中有这样一歌谣:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,
共灯三百八十一,请问尖头几盏灯? ”其译文为:“远远望见7层高的古塔,每层塔点着的灯数,下层比 上层成倍地增加,一共有381盏,请问塔尖几盏灯?”则按此塔各层灯盏的设置规律,从上往下数第4 层的灯盏数应为( )
A.3 B.12 C. 24 D.36
8.对任意的实数,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.设变量满足约束条件,则的最大值是( )
A.1 B. C. D.2
10.已知是的充分不必要条件,是的必要条件,是的必要条件.那么是成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
11.已知点与点在直线的两侧,给出以下结论:①;②当时,有最小值,无最大值;③;④当且时,的取值范围是,
正确的个数是( )
A.1 B.2 C. 3 D.4
12.在函数的图象上,横坐标在内变化的点处的切线斜率均大于1,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13. 若公差为2的等差数列的前9项和为81,则 .
14.过点作抛物线的弦,恰被所平分,则弦所在直线方程为 .
15.已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是 .
16.已知命题,命题,若是的必要不充分条件,则实数的取值范围是 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 在中,角的对边分别是,.
(1)求角;
(2)若,的面积,求的值.
18.数列的前项和为,.
(1)设,证明:数列是等比数列;
(2)求数列的前项和.
19.已知函数.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2) 若在上单调递增,求实数的取值范围.
20.设椭圆的左焦点为,离心率为,椭圆与轴左交点与点的距离为.
(1)求椭圆方程;
(2) 过点的直线与椭圆交于不同的两点,当面积为时,求.
21.已知抛物线的方程为,过点的直线与抛物线相交于两点,分别过点作抛物线的两条切线和,记和相交于点.
(1)证明:直线和的斜率之积为定值;
(2) 求证:点在一条定直线上.
22.已知函数.
(1)当时,求函数的单调递减区间;
(2)当时,设函数,若函数在区间上有两个零点,求实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: CDADB 6-10: CCBBA 11、12:BC
二、填空题
13. 17 14. 15. 16.
三、解答题
17. 解:(1)由已知得,
∴由正弦定理得,
∴,
故.
由,得.
(2)在中,,
∴,故.①
又,
∴.②
联立①②式解得.
18.解:(1)∵, ①
∴当时,,则,
当时,, ②
则由①—②得,即,
∴,
又,
∴数列是首项为,公比为的等比数列,
∴.
(2)由(1)得.
∴,③
,④.
由④-③得.
19.解:(1)∵,∵,即
∴所求切线方程为,即
(2),∵在上单调递增,∴在上恒成立,
∴在上恒成立,令,,令,则,
∵在上;在上,,
∴在单调递增,在上单调递减,
∴,
∴,
∴实数的取值范围为.
20.解:(1)由题意可得,,又,解得,
所以椭圆方程为
(2)根据题意可知,直线的斜率存在,故设直线的方程为,
设由方程组消去得关于的方程,
由直线与椭圆相交于两点,则有,即,
得:,由根与系数的关系得,
故 又因为原点到直线的距离,
故的面积
由,得,此时.
21.解:(1)依题意,直线的斜率存在,设直线的方程为,
将其代入,消去整理得.
设的坐标分别为,
则.
将抛物线的方程改写为,求导得.
所以过点的切线的斜率是,过点的切线的斜率是,
故,
所以直线和的斜率之积为定值.
(2)设.因为直线的方程为,即,
同理,直线的方程为,
联立这两个方程,消去得,
整理得,注意到,所以.
此时.
由(1)知,,所以,
所以点在定直线上.
22.解:(1)的定义域为,
的导数为,
①当时,.
由,得或.
当时,单调递减.
∴的单调递减区间为;
②当时,恒有,∴单调递减.
∴的单调递减区间为;
③当时,.
由,得或.
∴当时,单调递减.
∴的单调递减区间为.
综上,当时,的单调递减区间为;
当时,的单调递减区间为;
当时,的单调递减区间为.
(2)在上有零点,
即关于的方程在上有两个不相等的实数根.
令函数,.
则.
令函数,.
则在上有.
故在上单调递增.
∵,∴当时,有即.∴单调递减;
当时,有 即,
∴单调递增.
∵,,,
∴的取值范围为.