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厦门外国语学校2017-2018学年第二学期高三第一次考试
数学（理科）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3．已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．若直线与圆有公共点，则实数取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5．甲、乙两人计划从、、三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有（ ）
A． 3种 B． 6种 C． 9种 D．12种
6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的体积为（ ）
A. B.
C. D.
7．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（ ）
A．2010B．－1 C．D．2
(第6题图)(第7题图)
8．已知，则（ ）
A. B. C. D. -
9.已知函数，且，则等于（ ）
A． －2013B．－2014C．2013D．2014
10．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如注明的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，假如统计结果是，那么可以估计的值约为（ ）
A. B. C. D.
11．已知双曲线的左,右焦点分别为,若双曲线上存在点,
使,则该双曲线的离心率范围为（ ）
A. （1,） B. （1,） C. （1,] D. （1,]
12．已知函数若关于的方程有且仅有一个实数解，
则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．锐角中角的对边分别是，若，且的面积为，
则________．
14．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列四个命题中
（1）若,则; （2）若,则;
（3）若,则; （4）若,则.
其中所有真命题的序号是.
15．学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说：“作品获得一等奖”； 乙说：“作品获得一等奖”
丙说：“两项作品未获得一等奖” 丁说：“是或作品获得一等奖”
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 __________．
16．已知平面图形为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且，则四边形面积的最大值为_______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．[来源:学科网ZXXK]
17.（本小题满分12分）等差数列的前n项和为，已知， 为整数，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
18．（本小题满分12分）如图（1）五边形中，,将沿折到的位置，得到四棱锥，如图（2），点为线段的中点，且平面.
（1）求证：平面.
（2）若直线与所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值.
19．（本小题满分12分）某石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料.进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探，由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见如表：
（参考公式和计算结果：
，，，）
（1）1~6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为，求的值，并估计的预报值.[来源:Z。xx。k.Com]
（2）现准备勘探新井，若通过1，3，5，7号并计算出的，的值（，精确到0.01）相比于（1）中的，，值之差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？
（3）设出油量与勘探深度的比值不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数的分布列与数学期望.
20．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．
（1）求抛物线的方程及其准线方程；
（2）过点作抛物线的两条切线，、分别为两个切点，求面积的最小值．
21．（本小题满分12分）已知函数，其中.
（1）求函数的零点个数；
（2）证明：是函数存在最小值的充分而不必要条件.
22．选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，圆的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为
，两点的极坐标分别为．
（1）求圆的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）点是圆上任一点，求面积的最小值．
23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分)
已知函数，
（1）解不等式：；
（2）若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围.
厦门外国语学校2017-2018学年第二学期高三第一次考试
数学（理科）试题参考答案
一.选择题
1--11ACACB CDCDB AC
二.填空题
13． 14．（1）（4） 15．C 16..
【选择填空解析】
1．A
2．C
解：由题意可知： ， ，
由交集的定义可得： ，表示为区间即 .
3．A
4．C
解：由题意得圆心为，半径为。圆心到直线的距离为，
由直线与圆有公共点可得，即，解得。
∴实数a取值范围是。
5．B
6．C
解：由题意可知：该几何体上半部分为半球，下半部分为正方体，且正方体的面内切于半球的截面，且正方体的棱长为2，
，
该几何体的体积为： .
7．D
解：当时，,时，,当时，,所以是一个周期问题，,当时，被3整除余2，所以的值是当时的值，所以，当时，输出.
8．C
解:=,
9.D
解:当为奇数时,
当为偶数时，
所以
10. B
解:如图，点在以为邻边的正方形内部，正方形面积为1，能构成钝角三角形的三边，则，如图弓形内部，面积为，由题意，解得
11．A
解:由题意，点不是双曲线的顶点，否则无意义，在中，
由正弦定理得，又，即，在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得，即，由双曲线的几何性质，知，即，，解得，又，所以双曲线离心率的范围是，故选A.
11. C
解：由函数可知，在部分.当时.当时.当时恒成立.因为关于的方程有且仅有一个实数解，所以只能是只有一个解.当时有一个解.所以要使在上没解，有前面可得成立.当时要使才能成立..
13．
解：由题意得，又锐角，所以，由余弦定理得
14．（1）（4）[来源:学科网]
解：选项（1）中，由面面垂直的判定定理知（1）正确；选项（2）中，由线面垂直的判定定理知，（2）错；选项（3）中，依条件还可得，故（3）错；选项（4）中，由线面垂直的性质知，故（4）正确.
考点：线面垂直、面面垂直的判断与性质
15．C
解:若是一等奖，则甲丙丁都对，不合题意；若是一等奖，则甲乙丁都错，不合题意；若是一等奖，则乙丙正确，甲丁错，符合题意；若是一等奖，则甲乙丙错，不合题意，故一等奖是．
16..
解：设，在中，由余弦定理得，.
在中，由余弦定理可得，，即有，
又四边形面积，即有，又，两式两边平方可得.化简可得，，由于，即有，当即时，，解得.
故的最大值为.
三.解答题
17. 解：（1）由，为整数知，等差数列的公差为整数．
又，故…………………………………………2分
于是，解得，…………………4分
因此，故数列的通项公式为．…………………6分
（2），…………………8分
于是
………………………………12分
18.（1）证明：取的中点，连接，则，
又，所以，………………………………2分
则四边形为平行四边形，所以，……………………………………3分
又因为面
所以平面……………………………………………………………………5分
（2）又平面，
∴平面，∴.
由即及为的中点，可得为等边三角形，
∴，又，∴，∴，
∴平面平面，
∴平面平面.………………………………………………………………6分
，∴为直线与所成的角，
由（1）可得，∴，∴，
设，则，
取的中点，连接，过作的平行线，
可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∴，…………………………………………………………………9分
[来源:学.科.网Z.X.X.K]
所以，
设为平面的法向量，则，即，
取，则为平面的一个法向量，
∵，
则直线与平面所成角的正弦值为.………………………………12分
19.（1）因为，.
回归直线必过样本中心点，则.……………2分
故回归直线方程为，当时，，即的预报值为24.………………………………………………………4分
（2）因为，，，，
所以，……………………6分
，即，，，.
，，均不超过10%，
因此使用位置最接近的已有旧井.……………………………………………8分
（3）由题意，1，3，5，6这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井，
所以勘察优质井数的可能取值为2，3，4，
，，
.
X
2
3
4
P
……………………………………………………12分
20.试题解析：（Ⅰ）的方程为 其准线方程为．…………4分
（Ⅱ）设，，，
则切线的方程：，即，又，
所以，……………………………………………………………6分
同理切线的方程为，
又和都过点，所以，
所以直线的方程为. ………………………………………………8分
联立得，所以。
所以．
点到直线的距离．
所以的面积………………10分
所以当时， 取最小值为。即面积的最小值为2.……………12分
21．解（1）由，
得………………………………2分
令，得，或.
所以当时，函数有且只有一个零点：；当时，函数有两个相异的零点：，.……………………………………………………5分
（2）①当时，恒成立，此时函数在上单调递减，
所以，函数无极值.……………………………………………………………6分
②当时，，的变化情况如下表：
所以，时，的极小值为.
又时，，
所以，当时，恒成立.
所以，为的最小值.
故是函数存在最小值的充分条件.………………………………10分
③当时，，的变化情况如下表：
因为当时，，
又，
所以，当时，函数也存在最小值.
所以，不是函数存在最小值的必要条件.
综上，是函数存在最小值的充分而不必要条件.……………………12分
22．解： （1）由消去参数t，得，[来源:Z_xx_k.Com]
所以圆C的普通方程为．……………………………………2分
由，得，换成直角坐标系为，
所以直线l的直角坐标方程为……………………………5分
（2）化为直角坐标为在直线l上，
并且，设P点的坐标为，
则P点到直线l的距离为，…8分
，所经面积的最小值是…………………10分
23.解：试题解析：（Ⅰ）由得
.……………………………………………5分
（Ⅱ）∵的值域为，∴对任意的，都有，使得成立，…………………………………………………………7分
∵≥
所以实数的取值范围是.…………………………………………10分
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