淄博实验中学高三年级第二学期第一次诊断考试试题 2019.04
数 学（人文）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设 为虚数单位.若复数 是纯虚数，则复数 在复面上对应的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合 ,若 ，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3.如图是为了求出满足 的最小偶数n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入( )
A. A>1000和n=n+1 B. A>1000和n=n+2 C. A 1000和n=n+1 D. A 1000和n=n+2
4.已知函数 ，若 ，则a为（ ）
A. 1 B. C. D.
5．函数 （ 且 ）的图象可能为（ ）
6．我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势即同，则积不容异也”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ）
（第6题图） （第11题图）
A. B. C. D.
7.直线 与y轴的交点为P,点P把圆 的直径分为两段，则较长的一段与较短的一段的比值等于 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8．已知△ABC的三个内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，向量 =(a＋c，a－b)， =(b，a－c)，若 ，则∠C=( )
A． B． C． D．
9. 已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ）
A.128 B.256 C.512 D.1024
10.已知锐角 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
11.已知O为坐标原点，双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，若右支上有点M满足 ，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12.已知数列 的前 项和为 ， ，且满足 ，已知 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C. D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13. 已知 则当a的值为 时, 取得最大值.
14. 若平面区域 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是_______.
15.已知平面 ，直线 .给出下列命题：
① 若 ，则 ； ② 若 ，则 ；
③ 若 ，则 ； ④ 若 ，则 .
其中是真命题的是 ．（填写所有真命题的序号）．
16．若 是函数 的两个不同的零点， 且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）某公司为了提高利润，从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下表：
年 份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
投资金额（万元）
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
年利润增长（万元）
6.0
7.0
7.4
8.1
8.9
9.6
11.1
（I）请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；如果2019年该公司计划对生产环节的改进的投资金额是8万元，估计该公司在该年的年利润增长是多少？（结果保留2位小数）
（II）现从2012—2018年这7年中抽取2年进行调查，记 =年利润增长－投资金额，求这两年都是 >2（万元）的概率。
参考公式：回归方程 中，
18. （本小题满分12分）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
.
（I）求角C； （II）若 ， 的面积为 ，M为AB的中点，求CM的长.
19. （本小题满分12分）如图所示的几何体P-ABCD中，四边形ABCD为菱形， ，AB=a， ， ，平面ABCD 平面PAB， ，E为PD的中点，G为平面PAB内任一点.
（I）在平面PAB内，过G点是否存在直线l使OE//l？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；
（II）过A、C、E三点的平面将几何体P-ABCD截去三棱锥D-AEC，求剩余几何体AECBP的体积.
20.（本小题满分12分）已知椭圆 ： 的左，右焦点分别为 ，离心率为 ， 是 上的一个动点。当 为 的上顶点时， 的面积为 。
（I）求 的方程； （II）设斜率存在的直线 与 的另一个交点为 。若存在点 ，使得 ，求 的取值范围。
21．（本小题满分12分）已知函数f(x)=lnx
（I）若函数F(x)=tf(x)与函数g(x)=x2﹣1在点x=1处有共同的切线l，求t的值；
（II）证明： ；
（III）若不等式mf(x)≥a+x对所有的 都成立，求实数a的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22. （本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ( 为参数 ，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为 ．
（I）求C的普通方程和l的倾斜角； （II）设点P(0, 2)，l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．
23. （本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
函数 ，其中 ，若 的解集为 ．
（I）求a的值；（II）求证：对任意 ，存在 ，使得不等式 成立．
高三年级第二学期第一次诊断考试数学文试题答案2019.4
1.【答案】D 【解析】因为复数 是纯虚数，所以 ，解得： ，
所以复数 可化为 ，所以复数 在复面上对应的点的坐标为 .故选：D
2.【答案】B 【解析】对集合A，由 得： 或 .
对集合B，由 得： .
又 ，所以 （舍去）或 . 故选：B
3.【答案】D 【解析】由题意，因为 ，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入A>1000，故填A 1000，又要求n为偶数且初始值为0，所以矩形框内填n=n+2，故选D.
4.【答案】D 【解析】由题意可得：
，解得： .本题选择D选项.
5．【答案】D
6．【答案】B 【解析】结合三视图，还原直观图，是一个棱长为2的正方体挖去一个半圆柱得到的，
故 ，故选B。
7.【答案】A 【解析】令 代入 可得 ，圆心坐标为 ，
则 与圆心的距离为 ，半径为6，可知较长一段为8，较短一段4，则较长一段比上较短一段的值等于2。故答案为A.
8．【答案】B 【解答】∵向量 ， ，若 ，则 ，
即 ，即 ，∴由余弦定理得
∵ ,∴ . 故选：B.
9. 【答案】B 【解析】当n=1时，S2＝2S1－1，得a1＋a2＝2a1－1，a2＝a1－1=1，
当n≥2时，由Sn+1＝2Sn－1，得Sn＝2Sn－1－1，两式相减得an＋1＝2an (n≥2，n∈N*)，
所以数列{an}从第二项起成等比数列，且公比q＝2. 因此an＝1·2n－2＝2n－2 (n≥2，n∈N*)
所以a10＝210－2＝28=256.
10.【答案】C 【解析】因为锐角 满足 ，所以 也是锐角，
由三角函数的基本关系式可得 ，
则 ，故选C.
11.【答案】A 【解析】设 ， ， 由题可得： ,
在 中，由余弦定理可得： ，整理得： .
在 中，由余弦定理可得： ，整理得： .
由双曲线定义得： ，即： .整理得： .故选:A
12.【答案】C 【解析】由 得 ，所以数列{ }是等差数列，公差是1，首项是 。所以 ，则 。
当且仅当 时， ，a6=0，其它的 。又已知 ， ，则 的最小值为 ，也等于 ，所以故选C。
13.【答案】4 【解析】
14.【答案】
15.【答案】③④ 【解析】对于①，若 ， ，则 或 相交，所以该命题是假命题；
对于②，若 ， ，则 可能平行、相交、异面，所以该命题是假命题；
对于③④可以证明是真命题. 故答案为：③④
16．【答案】9
17. 解:（Ⅰ） ， ， ，
-----------2分
那么回归直线方程为： …………4分
将 代入方程得
即估计该公司在该年的年利润增长大约为11.43万元. …………6分
（Ⅱ）由题意可知，
年份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
1.5
2
1.9
2.1
2.4
2.6
3.6
…………7分
设2012年--2018年这7年分别定为1,2,3,4,5,6,7；则总基本事件为：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（1,7），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（2,7），（3,4），（3,5），（3,6），（3,7），（4,5），（4,6），（4,7），（5,6），（5,7），（6,7），共有21种结果，………………………………………………………………………… 9分
选取的两年都是 万元的情况为：（4,5），（4,6），（4,7），（5,6），（5,7），（6,7），共6种，………11分
所以选取的两年都是 万元的概率 .---------------------------------------------------------------12分
18.【解析】（1）由平方关系可得： 再由正弦定理可化为
，整理得到 ，即 .
又由余弦定理，得 . 因为 ，所以 .-----------------------------------------6分
（2）因为 ，所以 为等腰三角形，且顶角 . 故 ，所以 .
在 中，由余弦定理，得
，解得 .-----------------------------------------12分
19. 【解析】（1）过 点存在直线l使OE//l，理由如下：
由题可知 为 的中点，又 为 的中点，所以在 中，有 .
若点 在直线 上，则直线 即为所求作直线l，所以有OE//l；
若点 不在直线 上，在平面 内，过点 作直线l，使 ，
又 ，所以OE//l，即过 点存在直线l使OE//l. -----------------------------------------4分
（2）连接 ， ，则平面 将几何体分成两部分：
三棱锥 与几何体 （如图所示）.
因为平面 平面 ，且交线为 ，
又 ，所以 平面 . 故 为几何体 的高.
又四边形 为菱形， ， ， ，所以 ，
所以 .
又 ，所以 平面 ，OE是三棱锥E-ACD的高。
所以 ，
所以几何体 的体积 .-----------------------------------------12分
20.解：（1）设椭圆的半焦距为c。因为 ，所以， ，………………1分
又 ，………………2分 所以 .………………3分
所以C得方程为 ………………4分
（2）设直线PQ的方程为 ，PQ的中点为 .
当k=0时，直线成为x轴，原点O(0,0)符合题意，即t=0符合题意.………………5分
当k≠0时，由 得 ………………6分
则 ………………7分
所以
即 ………………8分
因为 ，所以TN⊥PQ,则KTN·k=－1，………………9分
所以 ………………10分
因为 ，所以 .………………11分
综上，t的取值范围为 .………………12分
21．【解析】（Ⅰ）g′(x)=2x，F(x)=tf(x)=t lnx，F′(x)=t f ′(x)= ，
∵F(x)=tf(x)与函数g(x)=x2﹣1在点x=1处有共同的切线l，∴k=F′(1)=g′(1)，即t=2，-------------2分
（Ⅱ）令h(x)=f(x)﹣x，则h′(x)= ，则h(x)在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，∴h(x)的最大值为h(1)=－1，∴| h(x)| 在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，最小值是1。
设G(x)= ，G′(x)= ，
故G(x)在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，故G(x)max= ，
∴ ；-------------------------------------------------------------------------------------------6分
（Ⅲ）不等式mf(x)≥a+x对所有的 都成立，
则a≤ mlnx﹣x对所有的 都成立，
令H(m)=mlnx﹣x， ，是关于m的一次函数，
∵x∈[1，e2]，∴lnx∈[0，2]，∴当m=0时，H(m)取得最小值﹣x，
即a≤﹣x，当x∈[1，e2]时，恒成立，
故a≤﹣e2． ----------------------------------------------------------------------------------------------12分
22. 【解析】(1)由 消去参数α，得 ，即C的普通方程为 . ……………2分
由ρsin ＝ ，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*) ……………3分
将 代入(*)，化简得y＝x＋2，所以直线l的倾斜角为 .……………4分
(2)由(1)知，点P(0，2)在直线l上，可设直线l的参数方程为 (t为参数)，……………5分
即 (t为参数)，代入 并化简，得5t2＋18 t＋27＝0，……………6分
Δ＝(18 )2－4×5×27＝108>0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－ 0，所以t1
微信/支付宝扫码支付