济钢高中高三下学期 4 月连考（一）2019.4.
数 学 （理）
考试时间：120 分钟；满分：150 份
第Ⅰ 卷（选择题）
一．选择题（共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．)
1．设集合 A＝{0,1}，B＝{x|(x＋2)(x－1)＜0，x∈Z}，则 A∪B＝( )
A．{－2，－1,0,1} B．{－1,0,1} C．{0,1} D．{0}
2．设 i 是虚数单位，若复数 a－ 10
3－i(a∈R)是纯虚数，则 a 的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
3．已知点 x，y 满足约束条件
x＋y－2≥0
x－2y＋4≥0
x－2≤0
，则 z＝3x＋y 的最大值与最小值之差为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
4．现有四个函数：①y＝xsin x；②y＝xcos x；③y＝x|cos x|；④y＝x·2 x 的图象(部分)如下，但顺序被打
乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )
A．④①②③ B．①④③② C．③④②① D．①④②③
5．若向量 a，b 满足|a|＝ 3，|b|＝2，a⊥(a－b)，则 a 与 b 的夹角为( )
A.π
2 B.2π
3 C.π
6 D.5π
6
6．某几何体三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为 2，则该
几何体体积为( )
A.32＋8 3
3 π B.32＋ 3
3 π C.4＋3 3
3 π D.4＋ 3
3 π
7．．己知定义在 R 上的函数 fx满足：(1) 2fxfx ；(2) 2fx 为奇函数；(3)当 0,1x
时， 12
12
12
0f x f x xxxx
恒成立，则 15 11, 4 ,22f f f
关系正确的为 A． 1115 422fff
B． 11154 22fff
C． 1511 422fff
D． 1511 422fff
8．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、
丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：
“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一
人是罪犯，由此可判断罪犯是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．高三某班 15 名学生一次模拟考试成绩用
茎叶图表示如图 1，执行图 2 所示的程序框图，
若输入的 ai(i＝1,2，…，15)分别为这 15 名学生
的考试成绩，则输出的结果为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
10．已知 A＝{(x，y)|x2＋y2≤π2}，B 是曲线
y＝sin x 与 x 轴围成的封闭区域，若向区域 A 内
随机投入一点 M，则点 M 落入区域 B 的概率为
( )
A.2
π B.4
π C. 2
π3 D. 4
π3
11．已知双曲线 C：x2
a2－y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，焦距为 2c，直线 y＝ 3
3 (x＋
c)与双曲线的一个交点 P 满足∠PF2F1＝2∠PF1F2，则双曲线的离心率 e 为( )
A. 2 B. 3 C．2 3＋1 D. 3＋1
12．将函数 sin 2yx 的图象向右平移 0 2
个单位长度得到 yfx 的图象．若函数
fx在区间 0, 4
上单调递增，且 的最大负零点在区间 5 ,126
上，则 的取值范围是（ ）．
A． ,64
B． ,62
C． ,124
D． ,122
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上)
13．在多项式(1＋2x)6(1＋y)5 的展开式中，xy3 项的系数为________．
14．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 b＝2，c＝2 2，且 C＝π
4，则△ABC 的面
积为________．
15．已知三棱锥 A•BCD 中，BC⊥CD，AB＝AD＝ 2，BC＝1，CD＝ 3，则该三棱锥的外接球的体积
为________．
16．已知底面是边长为 2 的正方形，侧棱长是 1 的直四棱柱 ABCD•A1B1C1D1 中，P 是平面 A1B1C1D1
上的动点．给出以下三个结论：
①与点 D 距离为 3的点 P 形成一条曲线，且该曲线的长度是 2π
2 ；②若 DP∥平面 ACB1，则 DP 与平
面 ACC1A1 所成角的正切值的取值范围是
6
3 ，＋∞ ；③若 DP＝ 3，则 DP 在该四棱柱六个面上的正投影
长度之和的最大值为 6 2，则其中正确结论的序号是
三、解答题(共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题
考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．)
(一)必考题：共 60 分．
17．(本小题满分 12 分)已知等比数列{an}的公比 q＞1，a1＝1，且 2a2，a4,3a3 成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记 bn＝2nan，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
18．(本小题满分 12 分)如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 是边
长为 2 的菱形，∠BAD＝60°，四边形 BDEF 是矩形，平面 BDEF⊥平面 ABCD，
DE＝2，M 为线段 BF 上一点，且 DM⊥平面 ACE.
(1)求 BM 的长；
(2)求二面角 A•DM•B 的余弦值的大小．
19．(本小题满分 12 分)
随着经济的发展和个人收入的提高，自 2018 年 10 月 1 日起，个人所得税起征点和税率依法进行调整．调
整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减 5000 元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得
税税率表，调整前后的计算方法如下表：
（1）假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入为 7500 元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入
比调整前增加了多少?
（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月 100 个不同层次员工的税前收入，并制成下
面的频数分布表：
先从收入在[3000，5000)及[5000，7000)的人群中按分层抽样抽取 7 人，再从中选 4 人作为新纳税法知识宣
讲员，用 a 表示抽到作为宣讲员的收入在[3000，5000)元的人数，b 表示抽到作为宣讲员的收入在[5000，
7000)元的人数，随机变量 Z a b，求 Z 的分布列与数学期望．
20．(本小题满分 12 分)已知点 F 为椭圆 E：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶
点构成一个等边三角形，直线x
4＋y
2＝1 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M.
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)设直线x
4＋y
2＝1 与 y 轴交于 P，过点 P 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A，B，若 λ|PM|2＝|PA|·|PB|，
求实数 λ 的取值范围．
21．(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝(2x－4)ex＋a(x＋2)2(x＞0，a∈R，e 是自然对数的底数)．
(1)若 f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数，求实数 a 的取值范围；
(2)当 a∈ 0，1
2 时，证明：函数 f(x)有最小值，并求函数 f(x)的最小值的取值范围．
(二)选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
x＝1＋cos α
y＝1＋sin α (α 为参数，π≤α≤2π)，以 O 为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρcos θ－π
4 ＝ 2
2 t.
(1)求 C2 的直角坐标方程；
(2)当 C1 与 C2 有两个公共点时，求实数 t 的取值范围．
23．(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲
设函数 f(x)＝|x－2|＋2x－3，记 f(x)≤－1 的解集为 M.
(1)求 M；
(2)当 x∈M 时，证明：x[f(x)]2－x2f(x)≤0.
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