黄山市2019届高中毕业班第二次质量检测
数学（文科）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位．
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．
4．参考公式：,其中
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
第Ⅰ卷（选择题 满分60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请在答题卷的相应区域答题.）
1. 设集合，，则=
A． B. C. D.
2. 已知复数满足，则复数在复平面内表示的点所在的象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.设且,则“”是“”的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4. 2018年，晓文同学参加工作月工资为7000元，各种用途占比统计如下面的条形图.后来晓文同学加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前晓文同学的月工资为
A．7000 B．7500 C．8500 D．9500
5. 已知双曲线的左焦点为，过的直线交双曲线左支于两点，则斜率的取值范围为
A. B.
C． D．
6．已知向量满足，且，则在方向上的投影为
A. B. C. D.
7．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，且的中点，则异面直线与夹角的余弦值为
A． B． C． D．
8. 已知
部分图象如图，则的一个对称中心是
A. B.
C. D.
9. 已知程序框图如图所示，若输入的，则输出的结果S的值为
A.1009 B.1008 C. D.
10.已知数列和的前项和分别为和，且，
,，若对任意
的 ,恒成立，则的最小值为
A. B. C. D.
11.一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长
为1的等腰直角三角形，则此空间几何体的表面积是
A.
B.
C.
D.
12.已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数，都有，当时，若，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
第II卷（非选择题 满分90分）
二、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分.请在答题卷的相应区域答题.）
13.已知椭圆：,以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径作圆；以右顶点为圆心，椭圆的长轴长为直径作圆，则圆与圆的公共弦长为 .
14.定义在上的函数满足，若，且,则= .
15.若整数满足不等式组，则的最小值为 ．
16.满足,，则面积的最大值为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 请在答题卷的相应区域答题.）
17．（本小题满分12分）
已知数列的前项和，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，数列的前项和为，求证：对于任意的，都有.
18．（本小题满分12分）
如图，直三棱柱中，是的中点，且，四边形为正方形.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若, ，求点到平面的距离.
75
0.010
15
35
45
55
0.030
年龄/岁
0.005
65
25
0
19．（本小题满分12分）
2019年全国“两会”,即中华人民共和国
第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协
商会议第十三届全国委员会第二次会议，分别
于2019年3月5日和3月3日在北京召开.为
了了解哪些人更关注“两会”，某机构随机抽
取了年龄在15～75岁之间的200人进行调查，
并按年龄绘制的频率分布直方图如下图所示，
把年龄落在区间[15,35)和[35,75]内的人分
别称为“青少年人”和“中老年人”.经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为19:21．其中“青少年人”中有40人关注“两会”，“中老年人”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比是2:1.
（Ⅰ）求图中的值；
（Ⅱ）现采用分层抽样在[25,35)和[45,55)中随机抽取8名代表,从8人中任选2人,求2人中至少有1个是“中老年人”的概率是多少 ?
（Ⅲ）根据已知条件,完成下面的2×2列联表，并根据此统计结果判断:能否有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”?
关注
不关注
合计
青少年人
中老年人
合计
20．（本小题满分12分）
在中,，且.以所在直线为轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程;
（Ⅱ）已知定点,不垂直于的动直线与轨迹相交于两点,若直线 关于直线对称,求面积的取值范围.
21．（本小题满分12分）
已知函数,直线：.
（Ⅰ）设是图象上一点，为原点，直线的斜率,若 在 上存在极值，求的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数，使得直线是曲线的切线？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由.
考生注意：请在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4— 4：坐标系与参数方程
设极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，原点为极点，轴正半轴为极轴，
曲线的参数方程为（是参数），直线的极坐标方程为
．
（Ⅰ）求曲线的普通方程和直线的参数方程；
（Ⅱ）设点，若直线与曲线相交于两点，且，求的值﹒
23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知.
（Ⅰ）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若，且，求的取值范围.
黄山市2019届高中毕业班第二次质量检测
数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
1.A 2.A 3.B 4.C 5.B 6.D 7.C 8.A 9.C 10.B 11.D 12. B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 14. 4 15. 16.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为……… ① ；当时，…… ②
由①-② 得，故 ……………………………………………4分
又因为适合上式，所以（）. …………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
, ……………………………8分
……………10分
所以. ………………………………………………………12分
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）如图，连接，交于点，再连接，由已知得，四边形为正方形，为的中点，
∵是的中点，∴，又平面，平面，
∴平面. ……………………………………………………5分
（Ⅱ）∵在直三棱柱中，平面平面,且为它们的交线，
又，∴平面,又∵平面,
∴，且.
同理可得，过作，则面，且. …………9分
设到平面的距离为,由等体积法可得：
，即，
即.
即点到平面的距离为. …………………………12分
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得 ,解得 …………………2分
（Ⅱ）由题意得在[25,35)中抽取6人，记为，在[45,55)中抽取2人, 记为.
则从8人中任取2人的全部基本事件(共28种)列举如下： …………………………………………………4分
记2人中至少有1个是“中老年人”的概率是，则. ………………6分
（Ⅲ）2×2列联表如下： ………………………………………………………………8分
关注
不关注
合计
青少年人
40
55
95
中老年人
70
35
105
合计
110
90
200
………………10分
所以有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”. ………12分
20．（本小题满分12分）
解:(Ⅰ)由 ，得,
根据正弦定理,所以轨迹是以为焦点的椭圆(除轴上的点),由于,所以轨迹的方程为; …5分
(Ⅱ)由题，设的方程为,将直线的方程代入的方程得:.
所以 ………………6分
又直线与轨迹相交于不同的两点,所以,即，
直线关于轴对称,可以得到,
化简得,
,得, ………………8分
那么直线过点,,所以三角形面积：
……………10分设,,在上单调递减，
. …………………………………………………………………12分
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵，∴，解得.
由题意得： ，解得. ………………4分
（Ⅱ）假设存在实数，使得直线是曲线的切线，令切点，
∴切线的斜率.
∴切线的方程为，又∵切线过（0，-1）点，
∴.
解得， ∴， ∴. ……………………………………8分
（Ⅲ）由题意，令， 得 .
令， ∴，由，解得.
∴在（0,1）上单调递增，在上单调递减，
∴,又时，；时，，
时，只有一个交点；时，有两个交点；
时，没有交点. ………………………………………………………………12分
22.（本小题满分10分）选修4— 4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）由题可得，曲线的普通方程为. …………………2分
直线的直角坐标方程为，即. ………3分
由于直线过点，倾斜角为，
故直线的参数方程（是参数）. …………………………………5分
（注意：直线的参数方程的结果不是唯一的）
（Ⅱ）设两点对应的参数分别为，将直线的参数方程代入曲线的普通方程
并化简得： ……………7分
所以 ……………………………………………9分
解得. ……………………………………………………………………10分
23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
解：（Ⅰ），所以，…………3分
恒成立，则，
解得. ………………………………………………………………………5分
（Ⅱ），，则， ……………8分
又，所以，于是，
故. ………………………………………………………………10分
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