安徽省芜湖市2019年中考数学一模试卷（含解析）.doc

‎2019年安徽省芜湖市中考数学一模试卷 一、选择题：每小题给出的四个选项中，其中只有一个是正确的．请把正确选项的代号写在下面的答题表内，（本大题共10小题，每题4分，共40分．）‎ ‎1．已知5x＝6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是（　　）‎ A．75° B．60° C．87° D．120°‎ ‎3．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（　　）‎ A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9‎ ‎4．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（　　）‎ A．8 B．12 C．14 D．16‎ ‎5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（　　）‎ A．56° B．62° C．68° D．78°‎ ‎6．把一个小球以20米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（米）与时间t（秒），满足关系h＝20t﹣5t2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为（　　）‎ A．1秒 B．2秒 C．4秒 D．20秒 ‎7．联欢会主持人小亮、小莹、大明三位同学随机地站成一排，小亮恰好站在中间的概率是（　　）‎ 23‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（　　）‎ A．2：1 B．：1 C．3： D．3：2‎ ‎9．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（　　）‎ A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长 ‎10．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠B＝30°，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）‎ ‎11．抛物线y＝x2向左平移1个单位，所得的新抛物线的解析式为　 　．‎ ‎12．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD 23‎ 于点E，则图中阴影部分的面积是　 　（结果保留π）．‎ ‎13．如图所示，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴、y轴分别交于点A、B，且AB＝BC，已知△AOB的面积为1，则k的值为　 　．‎ ‎14．如图所示，已知AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC相似，则AP＝　 　．‎ 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分．）‎ ‎15．解方程：x（x+2）＝0．‎ ‎16．已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．请解答以下问题：‎ ‎（1）按要求作图：先将△ABO绕原点O逆时针旋转90°得△OA1B1，再以原点O为位似中心，将△OA1B1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA2B2；‎ ‎（2）直接写出点A1的坐标，点A2的坐标．‎ 23‎ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分．）‎ ‎17．某地区2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元，求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率．‎ ‎18．为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC．经测量BC＝24米，BD＝12米，DE＝40米，求河的宽度AB为多少米？‎ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分．）‎ ‎19．如图，⊙O中弦AB与CD交于M点．‎ ‎（1）求证：DM•MC＝BM•MA；‎ ‎（2）若∠D＝60°，⊙O的半径为2，求弦AC的长．‎ ‎20．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣4x+2m﹣1的顶点为C，图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）当m取最大整数时，求△ABC的面积．‎ 六、（本题满分12分）‎ ‎21．在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，他们的形状、大小、质地等完全相同．小兰先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，放回盒子，摇匀后，再由小田随机取出一个小球，记下数字为y ‎（1）用列表法或画树状图法表示出（x，y）的所有可能出现的结果；‎ ‎（2）求小兰、小田各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数y＝‎ 23‎ 的图象上的频率；‎ ‎（3）求小兰、小田各取一次小球所确定的数x，y满足y的概率．‎ 七、（本题满分12分）‎ ‎22．如图，Rt△ABP的直角顶点P在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y＝图象的两支上，且PB⊥x轴于点 C，PA⊥y轴于点D，AB分别与 x轴，y轴相交于点F和E．已知点 B的坐标为（1，3）．‎ ‎（1）填空：k＝　 　；‎ ‎（2）证明：CD∥AB；‎ ‎（3）当四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等时，求点P的坐标．‎ 八、（本题满分14分）‎ ‎23．如图1，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，点P为DC上一点，且AP＝AB，分别过点A和点C作直线BP的垂线，垂足为点E和点F．‎ ‎（1）证明：△ABE∽△BCF；‎ ‎（2）若＝，求的值；‎ ‎（3）如图2，若AB＝BC，设∠DAP的平分线AG交直线BP于G．当CF＝1，＝时，求线段AG的长．‎ 23‎ ‎2019年安徽省芜湖市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：每小题给出的四个选项中，其中只有一个是正确的．请把正确选项的代号写在下面的答题表内，（本大题共10小题，每题4分，共40分．）‎ ‎1．已知5x＝6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案．‎ ‎【解答】解：A、＝，则5y＝6x，故此选项错误；‎ B、＝，则5x＝6y，故此选项正确；‎ C、＝，则5y＝6x，故此选项错误；‎ D、＝，则xy＝30，故此选项错误；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积．‎ ‎2．若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是（　　）‎ A．75° B．60° C．87° D．120°‎ ‎【分析】根据相似多边形对应角的比相等，就可以求解．‎ ‎【解答】解：根据相似多边形的特点可知对应角相等，所以∠α＝360°﹣60°﹣138°﹣75°＝87°．故选C．‎ ‎【点评】主要考查了相似多边形的性质和四边形的内角和是360度的实际运用．‎ ‎3．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（　　）‎ A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9‎ ‎【分析】直接利用相似三角形对应高的比等于相似比进而得出答案．‎ ‎【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：2，‎ ‎∴对应高的比为：3：2．‎ 23‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确记忆相关性质是解题关键．‎ ‎4．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（　　）‎ A．8 B．12 C．14 D．16‎ ‎【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE＝BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，‎ ‎∴DE∥BC，DE＝BC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∵＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∵△ADE的面积为4，‎ ‎∴△ABC的面积为：16，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE∽△ABC是解题关键．‎ ‎5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（　　）‎ A．56° B．62° C．68° D．78°‎ 23‎ ‎【分析】由点I是△ABC的内心知∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，从而求得∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．‎ ‎【解答】解：∵点I是△ABC的内心，‎ ‎∴∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，‎ ‎∵∠AIC＝124°，‎ ‎∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）‎ ‎＝180°﹣2（∠IAC+∠ICA）‎ ‎＝180°﹣2（180°﹣∠AIC）‎ ‎＝68°，‎ 又四边形ABCD内接于⊙O，‎ ‎∴∠CDE＝∠B＝68°，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．‎ ‎6．把一个小球以20米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（米）与时间t（秒），满足关系h＝20t﹣5t2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为（　　）‎ A．1秒 B．2秒 C．4秒 D．20秒 ‎【分析】已知函数式为二次函数解析式，最高点即为抛物线顶点，求达到最高点所用时间，即求顶点的横坐标．‎ ‎【解答】解：∵h＝20t﹣5t2＝﹣5t2+20t中，‎ 又∵﹣5＜0，‎ ‎∴抛物线开口向下，有最高点，‎ 此时，t＝﹣＝2．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，比较简单．‎ ‎7．联欢会主持人小亮、小莹、大明三位同学随机地站成一排，小亮恰好站在中间的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 23‎ ‎【分析】先利用列表法展示所以6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，然后根据概率定义求解．‎ ‎【解答】解：列表如下：‎ 共有6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，‎ 所以小亮恰好站在中间的概率为＝，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法：先利用列举法或树形图法不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．‎ ‎8．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（　　）‎ A．2：1 B．：1 C．3： D．3：2‎ ‎【分析】根据折叠性质得到AF＝AB＝a，再根据相似多边形的性质得到＝，即＝，然后利用比例的性质计算即可．‎ ‎【解答】解：∵矩形纸片对折，折痕为EF，‎ ‎∴AF＝AB＝a，‎ ‎∵矩形AFED与矩形ABCD相似，‎ ‎∴＝，即＝，‎ 23‎ ‎∴（）2＝2，‎ ‎∴＝．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比．相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．‎ ‎9．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（　　）‎ A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长 ‎【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可．‎ ‎【解答】解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，‎ 设AD＝x，根据勾股定理得：（x+）2＝b2+（）2，‎ 整理得：x2+ax＝b2，‎ 则该方程的一个正根是AD的长，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．‎ ‎10．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠B＝30°，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（　　）‎ 23‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得BH＝CH，利用∠B＝30°可计算出AH＝AB＝2，BH＝AH＝2，则BC＝2BH＝4，利用速度公式可得点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，然后分类讨论：当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ＝x，BP＝x，DQ＝BQ＝x，利用三角形面积公式得到y＝x2；当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ＝8﹣x，BP＝4，DQ＝CQ＝（8﹣x），利用三角形面积公式得y＝﹣x+8，于是可得0≤x≤4时，函数图象为抛物线的一部分，当4＜x≤8时，函数图象为线段，则易得答案为D．‎ ‎【解答】解：作AH⊥BC于H，‎ ‎∵AB＝AC＝4cm，‎ ‎∴BH＝CH，‎ ‎∵∠B＝30°，‎ ‎∴AH＝AB＝2，BH＝AH＝2，‎ ‎∴BC＝2BH＝4，‎ ‎∵点P运动的速度为cm/s，Q点运动的速度为1cm/s，‎ ‎∴点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，‎ 当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ＝x，BP＝x，‎ 在Rt△BDQ中，DQ＝BQ＝x，‎ ‎∴y＝•x•x＝x2，‎ 当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ＝8﹣x，BP＝4‎ 在Rt△BDQ中，DQ＝CQ＝（8﹣x），‎ 23‎ ‎∴y＝•（8﹣x）•4＝﹣x+8，‎ 综上所述，y＝．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y与x的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）‎ ‎11．抛物线y＝x2向左平移1个单位，所得的新抛物线的解析式为　y＝（x+1）2　．‎ ‎【分析】先确定抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后对应点的坐标为（﹣1，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．‎ ‎【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位所得对应点的坐标为（﹣1，0），所以新抛物线的解析式为y＝（x+1）2．‎ 故答案为y＝（x+1）2．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．‎ ‎12．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是　8﹣2π　（结果保留π）．‎ 23‎ ‎【分析】根据S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE计算即可；‎ ‎【解答】解：S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣＝8﹣2π，‎ 故答案为8﹣2π．‎ ‎【点评】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．‎ ‎13．如图所示，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴、y轴分别交于点A、B，且AB＝BC，已知△AOB的面积为1，则k的值为　4　．‎ ‎【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而以得到点C和点B的坐标，再根据△AOB的面积为1，即可求得k的值．‎ ‎【解答】解：设点A的坐标为（﹣a，0），‎ ‎∵过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB＝BC，△AOB的面积为1，‎ ‎∴点C（a，），‎ ‎∴点B的坐标为（0，），‎ ‎∴＝1，‎ 解得，k＝4，‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．‎ ‎14．如图所示，已知AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB 23‎ 边上一动点，若△PAD与△PBC相似，则AP＝　或2或6　．‎ ‎【分析】由AD∥BC，∠ABC＝90°，易得∠PAD＝∠PBC＝90°，又由AB＝8，AD＝3，BC＝4，设AP的长为x，则BP长为8﹣x，然后分别从△APD∽△BPC与△APD∽△BCP去分析，利用相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵AB⊥BC，‎ ‎∴∠B＝90°．‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，‎ ‎∴∠PAD＝∠PBC＝90°．‎ AB＝8，AD＝3，BC＝4，‎ 设AP的长为x，则BP长为8﹣x．‎ 若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：‎ ‎①若△APD∽△BPC，则AP：BP＝AD：BC，即x：（8﹣x）＝3：4，‎ 解得x＝；‎ ‎②若△APD∽△BCP，则AP：BC＝AD：BP，即x：4＝3：（8﹣x），‎ 解得x＝2或x＝6．‎ 所以AP＝或AP＝2或AP＝6．‎ 故答案是：或2或6．‎ ‎【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意利用分类讨论思想求解是关键．‎ 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分．）‎ ‎15．解方程：x（x+2）＝0．‎ ‎【分析】原方程转化为x＝0或x+2＝0，然后解一次方程即可．‎ ‎【解答】解：∵x＝0或x+2＝0，‎ ‎∴x1＝0，x2＝﹣2．‎ ‎【点评】本题考查了解一元二次方程﹣‎ 23‎ 因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．‎ ‎16．已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．请解答以下问题：‎ ‎（1）按要求作图：先将△ABO绕原点O逆时针旋转90°得△OA1B1，再以原点O为位似中心，将△OA1B1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA2B2；‎ ‎（2）直接写出点A1的坐标，点A2的坐标．‎ ‎【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；‎ ‎（2）利用（1）中所画图形进而得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示：△OA1B1，△OA2B2，即为所求；‎ ‎（2）点A1的坐标为：（﹣1，3），点A2的坐标为：（2，﹣6）．‎ ‎【点评】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．‎ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分．）‎ ‎17．某地区2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元，求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率．‎ ‎【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×‎ 23‎ ‎（1+增长率），2015年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2015年的基础上再增长x，就是2016年的教育经费数额，即可列出方程求解．‎ ‎【解答】解：设增长率为x，根据题意2015年为2500（1+x）万元，2016年为2500（1+x）2万元．‎ 则2500（1+x）2＝3025，‎ 解得x＝0.1＝10%，或x＝﹣2.1（不合题意舍去）．‎ 答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数＝增长后的量．‎ ‎18．为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC．经测量BC＝24米，BD＝12米，DE＝40米，求河的宽度AB为多少米？‎ ‎【分析】根据题意得出△ABE∽△CDE，进而利用相似三角形的性质得出答案．‎ ‎【解答】解：设宽度AB为x米，‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴△ABC∽△ADE，‎ ‎∴＝，‎ 又∵BC＝24，BD＝12，DE＝40代入得 ‎∴＝，‎ 解得x＝18，‎ 答：河的宽度为18米．‎ ‎【点评】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE是解答此题的关键．‎ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分．）‎ ‎19．如图，⊙O中弦AB与CD交于M点．‎ 23‎ ‎（1）求证：DM•MC＝BM•MA；‎ ‎（2）若∠D＝60°，⊙O的半径为2，求弦AC的长．‎ ‎【分析】（1）根据圆周角定理得到∠D＝∠B，证明△DMA∽△BMC，根据相似三角形的性质列出比例式，即可证明结论；‎ ‎（2）连接OA，OC，过O作OH⊥AC于H点，根据圆周角定理、垂径定理计算即可．‎ ‎【解答】（1）证明：∵＝，‎ ‎∴∠D＝∠B，又∵∠DMA＝∠BMC，‎ ‎∴△DMA∽△BMC，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴DM•MC＝BM•MA；‎ ‎（2）连接OA，OC，过O作OH⊥AC于H点，‎ ‎∵∠D＝60°，‎ ‎∴∠AOC＝120°，∠OAH＝30°，AH＝CH，‎ ‎∵⊙O半径为2，‎ ‎∴AH＝‎ ‎∵AC＝2AH，‎ ‎∴AC＝2．‎ ‎【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．‎ 23‎ ‎20．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣4x+2m﹣1的顶点为C，图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）当m取最大整数时，求△ABC的面积．‎ ‎【分析】（1）根据抛物线与x轴有两个交点，得到△＞0，由此求得m的取值范围．‎ ‎（2）利用（1）中m的取值范围确定m＝2，然后根据抛物线解析式求得点A、B的坐标，利用三角形的面积公式解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+2m﹣1与x轴有两个交点，令y＝0．‎ ‎∴x2﹣4x+2m﹣1＝0．‎ ‎∵与x轴有两个交点，‎ ‎∴方程有两个不等的实数根．‎ ‎∴△＞0．即△＝（﹣4）2﹣4•（2m﹣1）＞0，‎ ‎∴m＜2.5．‎ ‎（2）∵m＜2.5，且m取最大整数，‎ ‎∴m＝2．‎ 当m＝2时，抛物线y＝x2﹣4x+2m﹣1＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1．‎ ‎∴C坐标为（2，﹣1）．‎ 令y＝0，得x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3．‎ ‎∴抛物线与x轴两个交点的坐标为A（1，0），B（3，0），‎ ‎∴△ABC的面积为＝1．‎ ‎【点评】考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系等知识点，解题时，注意二次函数与一元二次方程间的转化关系．‎ 六、（本题满分12分）‎ ‎21．在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，他们的形状、大小、质地等完全相同．小兰先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，放回盒子，摇匀后，再由小田随机取出一个小球，记下数字为y ‎（1）用列表法或画树状图法表示出（x，y）的所有可能出现的结果；‎ ‎（2）求小兰、小田各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数y＝‎ 23‎ 的图象上的频率；‎ ‎（3）求小兰、小田各取一次小球所确定的数x，y满足y的概率．‎ ‎【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数即可；‎ ‎（2）找出点（x，y）落在反比例函数y＝的图象上的情况数，即可求出所求的概率；‎ ‎（3）找出所确定的数x，y满足y的情况数，即可求出所求的概率．‎ ‎【解答】解：（1）列表如下：‎ ‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎（1，1）‎ ‎（2，1）‎ ‎（3，1）‎ ‎（4，1）‎ ‎2‎ ‎（1，2）‎ ‎（2，2）‎ ‎（3，2）‎ ‎（4，2）‎ ‎3‎ ‎（1，3）‎ ‎（2，3）‎ ‎（3，3）‎ ‎（4，3）‎ ‎4‎ ‎（1，4）‎ ‎（2，4）‎ ‎（3，4）‎ ‎（4，4）‎ 所有等可能的结果有16种，分别为（1，1）；（1，2）；（1，3）；（1，4）；（2，1）；（2，2）；（2，3）；（2，4）；（3，1）；（3，2）；（3，3）；（3，4）；（4，1）；（4，2）；（4，3）；（4，4）；‎ ‎（2）其中点（x，y）落在反比例函数y＝的图象上的情况有：（2，3）；（3，2）共2种，‎ 则P（点（x，y）落在反比例函数y＝的图象上）＝＝；‎ ‎（3）所确定的数x，y满足y的情况有：（1，1）；（1，2）；（1，3）；（1，4）；（2，1）；（2，2）；（3，1）；（4，1）共8种，‎ 则P（所确定的数x，y满足y）＝＝．‎ ‎【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及反比例函数图象上点的坐标特征，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．‎ 七、（本题满分12分）‎ ‎22．如图，Rt△ABP的直角顶点P在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y＝图象的两支上，且PB⊥x轴于点 C，PA⊥y轴于点D，AB分别与 x轴，y轴相交于点F和E．已知点 B的坐标为（1，3）．‎ 23‎ ‎（1）填空：k＝　3　；‎ ‎（2）证明：CD∥AB；‎ ‎（3）当四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等时，求点P的坐标．‎ ‎【分析】（1）由点B的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值；‎ ‎（2）设A点坐标为（a，），则D点坐标为（0，），P点坐标为（1，），C点坐标为（1，0），进而可得出PB，PC，PA，PD的长度，由四条线段的长度可得出，结合∠P＝∠P可得出△PDC∽△PAB，由相似三角形的性质可得出∠CDP＝∠A，再利用“同位角相等，两直线平行”可证出CD∥AB；‎ ‎（3）由四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等可得出S△PAB＝2S△PCD，利用三角形的面积公式可得出关于a的方程，解之取其负值，再将其代入P点的坐标中即可求出结论．‎ ‎【解答】（1）解：∵B点（1，3）在反比例函数y＝的图象，‎ ‎∴k＝1×3＝3．‎ 故答案为：3．‎ ‎（2）证明：∵反比例函数解析式为，‎ ‎∴设A点坐标为（a，）．‎ ‎∵PB⊥x轴于点C，PA⊥y轴于点 D，‎ ‎∴D点坐标为（0，），P点坐标为（1，），C点坐标为（1，0），‎ ‎∴PB＝3﹣，PC＝﹣，PA＝1﹣a，PD＝1，‎ ‎∴，，‎ ‎∴．‎ 23‎ 又∵∠P＝∠P，‎ ‎∴△PDC∽△PAB，‎ ‎∴∠CDP＝∠A，‎ ‎∴CD∥AB．‎ ‎（3）解：∵四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等，‎ ‎∴S△PAB＝2S△PCD，‎ ‎∴×（3﹣）×（1﹣a）＝2××1×（﹣），‎ 整理得：（a﹣1）2＝2，‎ 解得：a1＝1﹣，a2＝1+（舍去），‎ ‎∴P点坐标为（1，﹣3﹣3）．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、平行线的判定以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值；（2）利用相似三角形的判定定理找出△PDC∽△PAB；（3）由三角形的面积公式，找出关于a的方程．‎ 八、（本题满分14分）‎ ‎23．如图1，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，点P为DC上一点，且AP＝AB，分别过点A和点C作直线BP的垂线，垂足为点E和点F．‎ ‎（1）证明：△ABE∽△BCF；‎ ‎（2）若＝，求的值；‎ ‎（3）如图2，若AB＝BC，设∠DAP的平分线AG交直线BP于G．当CF＝1，＝时，求线段AG的长．‎ 23‎ ‎【分析】（1）由余角的性质可得∠ABE＝∠BCF，即可证△ABE∽△BCF；‎ ‎（2）由相似三角形的性质可得＝＝，由等腰三角形的性质可得BP＝2BE，即可求的值；‎ ‎（3）由题意可证△DPH∽△CPB，可得＝＝，可求AE＝，由等腰三角形的性质可得AE平分∠BAP，可证∠EAG＝∠BAH＝45°，可得△AEG是等腰直角三角形，即可求AG的长．‎ ‎【解答】证明：（1）∵AB⊥BC，‎ ‎∴∠ABE+∠FBC＝90°‎ 又∵CF⊥BF，‎ ‎∴∠BCF+∠FBC＝90°‎ ‎∴∠ABE＝∠BCF 又∵∠AEB＝∠BFC＝90°，‎ ‎∴△ABE∽△BCF ‎（2）∵△ABE∽△BCF，‎ ‎∴＝＝‎ 又∵AP＝AB，AE⊥BF，‎ ‎∴BP＝2BE ‎∴＝＝‎ ‎（3）如图，延长AD与BG的延长线交于H点 23‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴△DPH∽△CPB ‎∴＝＝‎ ‎∵AB＝BC，由（1）可知△ABE≌△BCF ‎∴CF＝BE＝EP＝1，‎ ‎∴BP＝2，‎ 代入上式可得HP＝，HE＝1+＝‎ ‎∵△ABE∽△HAE，‎ ‎∴＝，＝，‎ ‎∴AE＝‎ ‎∵AP＝AB，AE⊥BF，‎ ‎∴AE平分∠BAP 又∵AG平分∠DAP，‎ ‎∴∠EAG＝∠BAH＝45°，‎ ‎∴△AEG是等腰直角三角形．‎ ‎∴AG＝AE＝3‎ ‎【点评】本题是相似综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．‎ 23‎