高 三 教 学 质 量 监 测
2018.01.24
数 学（理科）
注意：本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟．
1．答卷前，考生填、涂好学校、班级、姓名及座位号。
2．选择题用2B铅笔作答；非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，并将答题卡交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则
A．B．C．D．以上都不对
2. 复数z满足z(1﹣i)＝|1+i|，则复数z的共轭复数在复平面内的对应点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3. 若是真命题，是假命题，则
A．是真命题 B．是假命题
C．是真命题 D．是真命题
4.在中，若，则
A． B． C． D．
5．下列函数为偶函数的是
A．B．C． D．
6.函数y=sin(2x+)•cos(x﹣)+cos(2x+)•sin(﹣x)的图象的一条对称轴方程是
A．x= B．x= C．x=π D．x=
7.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=
A．9 B．10C．12 D．13
8.设满足约束条件，则的取值范围是
A． B． C． D．
9.已知F1（﹣3，0）、F2（3，0）是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，当时，△F1PF2的面积最大，则有
A．m=12，n=3 B．m=24，n=6
C．m=6，n= D．m=12，n=6
10.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为5，2，则输出的n=
A．2
B．3
C．4
D．5
11．在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为
A．11π B． C． D．
12．设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上
的值域为，则称为“倍缩函数”．若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是
A．（﹣∞，ln2﹣1） B．（﹣∞，ln2﹣1]
C．（1﹣ln2，+∞） D．[1﹣ln2，+∞）
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～第23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分1,3,5
。
13．设向量，若向量与向量(－3,－3)共线，则λ=．
14.已知，若对任意的x，都有
，则．
15．如图所示，三个直角三角形是一个体积为20cm3的
几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积
（单位：cm2）等于．
16．已知函数，，则的最小值是．
三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知在数列中，，，.
（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：.
18．（本小题满分12分）
某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．
（1）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；
（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图，将一副三角板拼接，使他们有公共边BC，且使这两个三角形所在的平面互相垂直，，，，BC=6.
（1）证明：平面ADC^平面ADB；
（2）求二面角A—CD—B平面角的正切值.
20. （本小题满分12分）
如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E
上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，
且，|BC|＝2|AC|．
（1）求椭圆E的方程；
（2）在椭圆E上是否存点Q，使得？
若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由．
（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条切线，
切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值．
21．（本小题满分12分）
设，曲线在点处的切线与直线垂直．
（1）求的值；
（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围．
22．（本小题满分10分）选修4-4，坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求直线的直角坐标方程；
（2）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求|x+y﹣1|的最大值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数
（1）当时，解不等式：；
（2）若关于x的不等式f(x)≤4的解集为[﹣1，7]，且两正数s和t满足
，求证：≥6．
高三理科数学参考答案
2018.1.24
一、选择题
1
2
3
4
5
6
C
D
D
A
D
C
7
8
9
10
11
12
D
D
A
C
D
C
10.解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，
当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，
当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，
当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，
故输出的n值为4， 故选C．
11.解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，
∴BC==，
∴三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，
∵SA⊥平面ABC，SA=2，
由于三角形OSA为等腰三角形，O是外接球的球心．
则有该三棱锥的外接球的半径R==，
∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．
12解：∵函数f（x）=lnx+t为“倍缩函数”，
且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，
∴f（x）在[a，b]上是增函数；
∴， 即在（0，+∞）上有两根，
即y=t和g（x）=﹣lnx在（0，+∞）有2个交点， g′（x）=﹣=，
令g′（x）＞0，解得：x＞2，
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
故g（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
故g（x）≥g（2）=1﹣ln2，故t＞1﹣ln2， 故选C：．
二、填空题
13.； 14.6 15. 77 16.
17.（1）方法一：由，得， （2分）
两式相减，得，即， （3分）
所以数列是等差数列. （4分）
由，得，所以， （5分）
故. （6分）
方法二：将两边同除以，得，（2分）
即. （3分）
所以 （4分）
所以 （5分）
因为，所以数列是等差数列. （6分）
（2）因为， （8分）
所以
（） （12分）
18.解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量，，x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04=0.030．（3分）
（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分数在[90，100）有2人，共7人．
抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数ξ的可能取值为1，2，3，则
，，．
所以，ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
所以，．（12分）
19. （1）证明：因为，
所以. （3分）
又，所以. （4分）
又，且，
所以. （5分）
又，所以.（6分）
（2）取BC的中点，连接，则， （7分）
又所以 （8分）
所以过作，连接，则则所以
是二面角的平面角. （10分）
在中，，又， （11分）
所以，即二面角平面角的正切值为2.（12分）
20. 解：(1)依题意知：椭圆的长半轴长，则A(2，0)，
设椭圆E的方程为-----------------------1分
由椭圆的对称性知|OC|＝|OB| 又∵，|BC|＝2|AC|
∴AC⊥BC，|OC|＝|AC| ∴△AOC为等腰直角三角形，
∴点C的坐标为(1，1)，点B的坐标为(－1，－1) ，---------------------3分
将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得
∴所求的椭圆E的方程为----------------------------------------------4分
（2）解法一：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则
即点Q在直线上，-----------------------------------------------------------6分
∴点Q即直线与椭圆E的交点，
∵直线过点，而点椭圆在椭圆E的内部，
∴满足条件的点Q存在，且有两个．------------------------------------------------------8分
【解法二：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则
即，--------①------------------------------------------------6分
又∵点Q在椭圆E上，∴，-----------------②
由①式得代入②式并整理得：，-----③
∵方程③的根判别式，
∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个．---------------8分
（3）解法一：设点，由M、N是的切点知，,
∴O、M、P、N四点在同一圆上，------------------------------------------9分
且圆的直径为OP,则圆心为，
其方程为，------------------------------10分
即-----④
即点M、N满足方程④，又点M、N都在上，
∴M、N坐标也满足方程---------------⑤
⑤-④得直线MN的方程为，------------------------------11分
令得，令得，
∴，又点P在椭圆E上，
∴，即=定值.-----------------------------------12分
【解法二：设点则----------9分
直线PM的方程为化简得--------------④
同理可得直线PN的方程为---------------⑤------------------10分
把P点的坐标代入④、⑤得
∴直线MN的方程为，------------------------------------------------------11分
令得，令得，
∴，又点P在椭圆E上，
∴，即=定值．---------------------------------------------12分
21. 解：（1）f′（x）=………..1分
由题设f′（1）=1，∴，∴a=0．………..3分
（2），∀x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1），
即4lnx≤m（3x﹣﹣2）………..4分
设g（x）=4lnx﹣m（3x﹣﹣2），即∀x∈[1，|+∞），g（x）≤0，
∴g′（x）=﹣m（3+）=，g′（1）=4﹣4m ………..6分
① 若m≤0，g′（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾………..7分
② 若m∈（0，1），当x∈（1，），g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）≥g（1）=0，与题设矛盾．………..9分
③ 若m≥1，当x∈（1，+∞），），g′（x）≤0，g（x）单调递减，g（x）≤g（1）=0，即不等式成立 ………..11分
综上所述，m≥1．………..12分
22.解：（1）根据题意，椭圆C的方程为+=1，
则其参数方程为，（α为参数）；………..1分
直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，变形可得ρsinθcos+ρcosθsin=3，
即ρsinθ+ρcosθ=3，………..3分,将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得x+y﹣6=0，
即直线l的普通方程为x+y﹣6=0；………..5分
（2）根据题意，M（x，y）为椭圆一点，则设M（2cosθ，4sinθ），………..6分
|2x+y﹣1|=|4cosθ+4sinθ﹣1|=|8sin（θ+）﹣1|，………..8分
分析可得，当sin（θ+）=﹣1时，|2x+y﹣1|取得最大值9．…………..10分
23.解：当a=2时，不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|，可化为|x﹣2|+|2x﹣5|≥6．…..1分
①x≥2.5时，不等式可化为x﹣2+2x﹣5≥6，∴x≥；…………..2分
②2≤x＜2.5，不等式可化为x﹣2+5﹣2x≥6，∴x∈∅；…………..3分
① x＜2，不等式可化为2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤，………………..4分
综上所述，不等式的解集为（﹣]；………..5分
（Ⅱ）证明：不等式f（x）≤4的解集为[a﹣4，a+4]=[﹣1，7]，∴a=3，………..7分
∴=（）（2s+t）=（10++）≥6，当且仅当s=，t=2时取等号．..10分
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