大庆铁人中学高二学年下学期假期验收考试
数学试题
命题人： 审题人：
试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷 选择题部分
一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。）
1、下列各组数据中，数值相等的是
A. 和 B. 和 C. 和D. 和
2、儿子的身高和父亲的身高是
A. 确定性关系 B. 相关关系 C. 函数关系 D. 无任何关系
3、下列四个命题中，其中为真命题的是
A. B. C. ，使 D.
4、将正弦曲线经过伸缩变换后得到曲线的方程的周期为
A. B. C. D.
5、用秦九韶算法计算，当 时，
A. 16 B. C. 32 D.
6．已知p：x≥3或x≤－2，q：x∈Z，p∧q与¬ q都是假命题，则x的可取值有( ).
A．5个 B．3个 C．4个 D．无数个
7.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
8.已知x与y之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
m
3
5.5
7
已求得关于y与x的线性回归方程＝2.2x＋0.7，则m的值为( )
A. 1 B. 0.85 C. 0.7 D. 0.5
9．阅读如下程序框图，如果输出i＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )
A．S＝2*i－2 B．S＝2*i－1
C．S＝2*i D．S＝2*i＋4
10. 已知三棱锥的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是
A. B. 1 C. D.
11．F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为( )
A．7 B.
C. D.
12. 已知圆的一条切线与双曲线C：有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 解答题部分
二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）
13.曲线C的参数方程为，为参数，则此曲线的极坐标方程为______．
14.设O是坐标原点，F是抛物线的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则为_____________________.
15.平面上画了一些彼此相距20cm的平行线，把一枚半径为4cm的硬币任意掷在这平面上，则硬币与任一条平行线相碰的概率为______．
16.若命题“”是假命题，则实数a的取值范围是______．
三、 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设函数．
Ⅰ若a是从、、0、1、2五个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，求函数无零点的概率；
Ⅱ若a是从区间任取的一个数，b是从区间任取的一个数，求函数无零点的概率．
18.已知曲线C1的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：．
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）若C1与C2相交于A、B两点，设点F（1，0），求的值．
19.某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如表：
价格元
10
15
20
25
30
日需求量
11
10
8
6
5
Ⅰ求y关于x的线性回归方程；
Ⅱ当价格元时，日需求量y的预测值为多少？
线性回归方程中系数计算公式：
，其中表示样本均值．
20.如图，四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值.（文）
求二面角的余弦值．（理）
21. (12分)在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E
五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩等级为B的考生有10人．
(1)求该考场考生中 “阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数；
(2)若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
(3)已知参加本考场测试的考生中，恰有2人的两科成绩等级均为A.在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩等级均为A的概率．
22.设分别是直线和上的两个动点，并且，动点P满足，记动点P的轨迹为C．
求曲线C的方程；
若点D的坐标为是曲线C上的两个动点，并且，求实数的取值范围；
是曲线C上的任意两点，并且直线MN不与y轴垂直，线段MN的中垂线l交y轴于点，求的取值范围．
数学答案
1——6 BBBCB
7——12 CDCABD
13.
14.
15.
16.
17. 解：Ⅰ函数无零点等价于方程无实根，
可得，可得
记事件A为函数无零点，
总的基本事件共有15个：，
，
，事件A包含6个基本事件，
Ⅱ如图，试验的全部结果所构成的区域为矩形区域
事件A所构成的区域为且即图中的阴影部分．
18.解：（I）∵曲线C1的参数方程为（为参数），
∴，∴，
∴曲线C1的普通方程为．…2分
∵曲线C2：，∴3ρ2+ρ2sin2θ=12，
∴3（x2+y2）+y2=12，∴3x2+4y2=12，
∴C2的直角坐标方程为．…5分
（Ⅱ）由题意可设，与A、B两点对应的参数分别为t1，t2，
将C1的参数方程代入C2的直角坐标方程，
化简整理得，5t2+4t-12=0，∴，…7分
∴，
∵，∴，
∴…10分．
19. 解：Ⅰ，
，
所求线性回归方程为
Ⅱ由Ⅰ知当时，，
故当价格元时，日需求量y的预测值为．
20. 解：Ⅰ证明：四棱柱中，，
又面，所以平面分是正方形，所以，
又面，所以平面分
所以平面平面，
所以平面分
Ⅱ解：ABCD是正方形，，
因为平面ABCD，
所以，
如图，以D为原点建立空间直角坐标系分
在中，由已知可得，
所以分
因为平面ABCD，
所以平面，
又，
所以平面分
所以平面的一个法向量为分
设与n所成的角为，
则分
所以直线与平面所成角的正弦值为分
Ⅲ解：设平面的法向量为，
则，
所以，
令，可得分
设二面角的大小为，
则．
所以二面角的余弦值为分
21.解：(1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，
所以该考场有10÷0.25＝40(人)．
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)
＝40×0.075＝3.
(2)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为
[1×(40×0.2)＋2×(40×0.1)＋3×(40×0.375)＋4×(40×0.25)＋5×(40×0.075)]＝2.9.
(3)因为两科考试中，共有6个A，又恰有2人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目成绩等级为A.
设这4人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是两科成绩等级都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，基本事件空间为
Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}，一共有6个基本事件．设“随机抽取2人进行访谈，这2人的两科成绩等级均为A”为事件M，所以事件M中包含的基本事件有1个，为(甲，乙)，则P(M)＝
22. 解：设．
，
又，即所求曲线方程为；
设，则由可得
故
在曲线C上，，
消去s，得，由解得，
又且；
设直线MN为，则
得：
由解得：，且
则直线l为，
由在直线l上，
由得．
微信/支付宝扫码支付